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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Taylorsche Entwicklungen seien. Sie haben nach Satz 22 von 
Nr. 115 für hinreichend kleines ||| dasselbe Vorzeichen wie 
ihre ersten Glieder eaj% 3 und eaj'% 3 . Wegen aj' = — a/ be 
rühren also beide Kurvenzweige im Falle £ = + 1 im Anfangs 
punkte die positive x-Achse von verschiedenen Seiten und im Falle 
£ = — 1 ebenso die negative x-Achse. Daher liegt eine Spitze 
vor wie in Nr. 184. Man nennt einen derartigen Punkt aus 
einleuchtendem Grunde auch einen Rüclckehrpunlct. 
Wir betrachten jetzt den Fall 
Ao = 0 
und wollen neue Veränderliche | und r t vermöge 
( 7 ) x = y = ty 
einführen, so daß die Gleichung (4), aus der sich | 2 forthebt, 
AzrfF +3A 12 i^ 2 -FM 03 |i} 3 ) + (M 40 | 2 -f 4M 31 £ 2 ??+ •••) + — = 0 
oder, wenn wir nur die Glieder von der niedrigsten, nämlich 
zweiten, Dimension wirklich angeben: 
4“ 3A 2 i£?7 + A 02 rj 2 ) -(-••• = 0. 
Wie man sieht, liegt jetzt rechnerisch wieder der Fall von 
Nr. 189 vor. Wir schließen daher: Ist 
9A 2 n - 4A 02 A 40 < 0, 
so gibt es keine reellen, sondern nur imaginäre Entwicklungen 
von rj nach Potenzen von £ (oder umgekehrt). Der Anfangs 
punkt wird daher ein isolierter Kurvenpunkt sein. 
Ist dagegen 
9A\ X - 4M 02 M 40 > 0 
und A 02 =j= 0, so gibt es zwei verschiedene Entwicklungen von 
rj nach Potenzen von £,-so daß wegen (7) zwei Kurvenzweige 
hervorgehen: 
ly = x + < x 2 + a 3 ' x 3 + • • •), 
\y = x(aj' x + a 2 " x 2 + a s " x 3 4 ), 
wobei a/ =|= aist. Wenn aber M 02 = 0, dagegen M 40 =|= 0 
ist, gibt es zwei verschiedene Entwicklungen von | nach Po- 
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