Full text: Differentialrechnung (1. Band)

334 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Punkt ins Auge gefaßt sein ; wenn nicht ausdrücklich anderes 
gesagt wird. 
Ist y = f(x) die Kurvengleichung und die Funktion f{x) 
in einem Bereiche stetig und differenzierbar, so ist die Kurve 
dort überall regulär, wie schon in Nr. 187 betont wurde. 
Wird die Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t in 
der Form 
(1) x = <p(t), y = 
dargestellt und sind cp(f) und y>{t) innerhalb eines Bereiches 
für t stetig und differenzierbar, so können singuläre Stellen 
verschieden gekennzeichnet sein: Denn wenn wir die Kurve 
in der Form y = f(x) darstellen wollen, müssen wir (vgl. 
Nr. 168) zunächst t als Funktion von x gewinnen. Aber zu 
allen Werten von t innerhalb eines Intervalles u <^t < ß 
können vermöge x = cp(t) Werte von x gehören, die ein In 
tervall a < x < b derart erfüllen, daß es z. B. zu jedem x im 
Intervalle a < x < b insgesamt n Werte von t im Intervalle 
a < i < ß gibt. Dann sind n zu x = cp (t) inverse Funktionen 
t = <P{x) vorhanden, so daß y = ^ (<t>(x)) insgesamt n Kurven 
zweige darstellt, wenn x von a bis b wächst. Dabei können 
diese Kurven einander schneiden, wodurch Doppelpunkte oder 
mehrfache Dünkte hervorgehen. 
Mithin ist, sobald wir die gesamte durch (1) definierte 
Kurve betrachten, ein Punkt (a; 0 , y 0 ) singulär, wenn die Funk 
tionen x und y für mindestens zwei verschiedene Werte t 0 und 
t 0 ' dieselben Werte x 0 und y 0 annehmen. Wenn wir uns als 
dann aber auf Werte von t in einer Umgebung von t 0 be 
schränken, verliert ein derartiger Punkt seinen singulären 
Charakter, so daß derartige Singularitäten nicht Vorkommen, so 
bald wir uns auf ein hinreichend kleines Intervall von Werten 
der Hilfsveränderlichen t beschränken. In der Tat gelang uns 
ja die Untersuchung einiger singulärer Stellen in den letzten 
Nummern durch Einführung einer Hilfsveränderlichen £ oder 
g, wodurch es möglich wurde, die durch einen singulären 
Punkt gehenden Kurvenzweige voneinander rechnerisch zu 
trennen. 
Aber die Kurve (1) kann noch andere singuläre Punkte 
idij
	        
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