334 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven
Punkt ins Auge gefaßt sein ; wenn nicht ausdrücklich anderes
gesagt wird.
Ist y = f(x) die Kurvengleichung und die Funktion f{x)
in einem Bereiche stetig und differenzierbar, so ist die Kurve
dort überall regulär, wie schon in Nr. 187 betont wurde.
Wird die Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t in
der Form
(1) x = <p(t), y =
dargestellt und sind cp(f) und y>{t) innerhalb eines Bereiches
für t stetig und differenzierbar, so können singuläre Stellen
verschieden gekennzeichnet sein: Denn wenn wir die Kurve
in der Form y = f(x) darstellen wollen, müssen wir (vgl.
Nr. 168) zunächst t als Funktion von x gewinnen. Aber zu
allen Werten von t innerhalb eines Intervalles u <^t < ß
können vermöge x = cp(t) Werte von x gehören, die ein In
tervall a < x < b derart erfüllen, daß es z. B. zu jedem x im
Intervalle a < x < b insgesamt n Werte von t im Intervalle
a < i < ß gibt. Dann sind n zu x = cp (t) inverse Funktionen
t = <P{x) vorhanden, so daß y = ^ (<t>(x)) insgesamt n Kurven
zweige darstellt, wenn x von a bis b wächst. Dabei können
diese Kurven einander schneiden, wodurch Doppelpunkte oder
mehrfache Dünkte hervorgehen.
Mithin ist, sobald wir die gesamte durch (1) definierte
Kurve betrachten, ein Punkt (a; 0 , y 0 ) singulär, wenn die Funk
tionen x und y für mindestens zwei verschiedene Werte t 0 und
t 0 ' dieselben Werte x 0 und y 0 annehmen. Wenn wir uns als
dann aber auf Werte von t in einer Umgebung von t 0 be
schränken, verliert ein derartiger Punkt seinen singulären
Charakter, so daß derartige Singularitäten nicht Vorkommen, so
bald wir uns auf ein hinreichend kleines Intervall von Werten
der Hilfsveränderlichen t beschränken. In der Tat gelang uns
ja die Untersuchung einiger singulärer Stellen in den letzten
Nummern durch Einführung einer Hilfsveränderlichen £ oder
g, wodurch es möglich wurde, die durch einen singulären
Punkt gehenden Kurvenzweige voneinander rechnerisch zu
trennen.
Aber die Kurve (1) kann noch andere singuläre Punkte
idij