Full text: Differentialrechnung (1. Band)

§ 3. Singuläre Punkte 
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haben: Wenn zu den Werten von t innerhalb eines Intervalles 
a < t < ß Werte von x gehören, die innerhalb des Intervalles 
a < x < b liegen und dies Intervall nur einfach erfüllen, 
gibt es zwar nur eine zu x = cp{t) inverse Funktion ix), 
so daß wir zur Darstellung y = tjj{(D(x)) gelangen können, 
jedoch muß dabei von solchen Werten von t abgesehen werden, 
für die cp'(t) = 0 ist, weil dort die Ableitung von <P(x) nicht 
mehr nach Satz 18, Nr. 37, zu finden ist. Immerhin kann 
man diesen Ausnahmefall vermeiden, wenn für den betreffenden 
Wert von t nicht auch = 0 ist, weil man alsdann t als 
die zu y = ip(t) inverse Funktion \y) auffassen und in 
x = (p (t) einsetzen kann, so daß man zu einer nach x auf 
gelösten Kurvengleichung x = <p>(d f {y)) gelangt, indem nur die 
Rollen der beiden Koordinaten x und y vertauscht werden. 
Das geht jedoch nicht mehr, wenn für einen und denselben Wert 
von t soivolü (p'if) als auch if>'(t) gleich Null ist. 
Wir wollen daher annehmen, für t = t Q sei (t) = 0 und 
= 0. Wir setzen <p (t 0 ) — x 0 und p (t 0 ) = y 0 . Ferner 
mögen ip(f), 4>(t) nebst ihren Ableitungen erster, zweiter und 
dritter Ordnung in einer Umgebung von t = t 0 bestimmte end 
liche Werte haben. Nach Satz 19 von Nr. 112 ist dann für 
t = t 0 -\-h und hinreichend kleines \h\: 
% = *o + 9>"(*o) \ + Rs ’ 
V = Vo + ^"(ßo) y + 
wobei die Reste und S 2 nach Satz 22 von Nr. 115 ohne 
Einfluß auf die Vorzeichen von 
s — x o = ty" (ßo) y + y — yo = *"(« y + S ä 
sind, sobald wir cp"(tf) =4= 0 und *h"(ßo) + 0 annehmen. Da 
her hat x — x 0 für positives und negatives h in der Umgebung 
von h = 0 dasselbe Zeichen wie <p"(ß 0 ) und ebenso y — y 0 das 
selbe wie d. h. die Kurvenpunkte, die sich für ¿>£ 0 , 
und diejenigen, die sich für t<Ct 0 in der Umgebung von (x Q , y 0 ) 
ergeben, liegen in einem und demselben von den vier rechten 
Winkeln, die bestimmt werden, wenn man durch den Punkt 
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