§ 3. Singuläre Punkte
335
haben: Wenn zu den Werten von t innerhalb eines Intervalles
a < t < ß Werte von x gehören, die innerhalb des Intervalles
a < x < b liegen und dies Intervall nur einfach erfüllen,
gibt es zwar nur eine zu x = cp{t) inverse Funktion ix),
so daß wir zur Darstellung y = tjj{(D(x)) gelangen können,
jedoch muß dabei von solchen Werten von t abgesehen werden,
für die cp'(t) = 0 ist, weil dort die Ableitung von <P(x) nicht
mehr nach Satz 18, Nr. 37, zu finden ist. Immerhin kann
man diesen Ausnahmefall vermeiden, wenn für den betreffenden
Wert von t nicht auch = 0 ist, weil man alsdann t als
die zu y = ip(t) inverse Funktion \y) auffassen und in
x = (p (t) einsetzen kann, so daß man zu einer nach x auf
gelösten Kurvengleichung x = <p>(d f {y)) gelangt, indem nur die
Rollen der beiden Koordinaten x und y vertauscht werden.
Das geht jedoch nicht mehr, wenn für einen und denselben Wert
von t soivolü (p'if) als auch if>'(t) gleich Null ist.
Wir wollen daher annehmen, für t = t Q sei (t) = 0 und
= 0. Wir setzen <p (t 0 ) — x 0 und p (t 0 ) = y 0 . Ferner
mögen ip(f), 4>(t) nebst ihren Ableitungen erster, zweiter und
dritter Ordnung in einer Umgebung von t = t 0 bestimmte end
liche Werte haben. Nach Satz 19 von Nr. 112 ist dann für
t = t 0 -\-h und hinreichend kleines \h\:
% = *o + 9>"(*o) \ + Rs ’
V = Vo + ^"(ßo) y +
wobei die Reste und S 2 nach Satz 22 von Nr. 115 ohne
Einfluß auf die Vorzeichen von
s — x o = ty" (ßo) y + y — yo = *"(« y + S ä
sind, sobald wir cp"(tf) =4= 0 und *h"(ßo) + 0 annehmen. Da
her hat x — x 0 für positives und negatives h in der Umgebung
von h = 0 dasselbe Zeichen wie <p"(ß 0 ) und ebenso y — y 0 das
selbe wie d. h. die Kurvenpunkte, die sich für ¿>£ 0 ,
und diejenigen, die sich für t<Ct 0 in der Umgebung von (x Q , y 0 )
ergeben, liegen in einem und demselben von den vier rechten
Winkeln, die bestimmt werden, wenn man durch den Punkt
[191