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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
(x y ) die Parallelen zu deD Achsen legt. Außerdem ist für 
positives und negatives h: 
h = 0 X X 0 T (t>) 
Zieht man nun durch den Punkt (x 0 , y 0 ) die Gerade, deren 
Winkel x mit der ¿c-Achse durch 
tg r - Cf-i 
° 9> (*o) 
gegeben ist, so verlassen die beiden Kurvenzweige, die für 
t<t 0 und t>t 0 hervorgehen, den Punkt (x ot y Q ) in der 
Weise, daß sie dort die Gerade nach derselben Richtung vom 
Punkte (x 0 , y Q ) aus berühren, d. h. die Kurve hat im Punkte 
(x 0 , y Q ) eine Spitze. Noch höhere Singularitäten ergeben sich, 
wenn cp"(t 0 ) und tp"(t 0 ) verschwindet. 
Hiernach sind diejenigen Funkte der Kurve x — (t), 
y = i>(t), für die sowohl cp'(t) als auch gleich Null ist, 
als singulär zu bezeichnen. In der Tat werden auch die Glei 
chungen der Tangente und der Normale, die in Nr. 169 unter 
(7) angegeben sind, für sie nichtssagend. 
§ 4. Differentialquotient der Fliiclie und der Bogenlänge. 
192. Der Flächeninhalt bei einer ebenen Kurve. 
Das Bild einer Funktion 
y = f( x ) 
habe innerhalb eines Intervalles überall positive Ordinaten. 
Siehe Fier. 36. Wir errichten eine bestimmte Ordinate AC 
o 
und die zu einer veränderlichen Abszisse 
x = OP> OA gehörige Ordinate y — PM. 
Beide Ordinaten schließen zusammen mit der 
Abszissenachse und der Bildlinie ein Flächen 
stück AP MC ein. Wenn wir als Flächen 
einheit das Quadrat wählen, dessen Seitenlange 
die Längeneinheit ist, wird dieses Flächenstiick 
AP MC, gemessen mit der Flächeneinheit, 
eine gewisse Größe u Laben. Uber die Art, 
n 
Fig. 36. 
wie man die Fläche AP MC exakt analytisch definiert und be- 
191, 193J