§ 4. Differentialquotient der Fläche und der Bogenlänge 339 
differenzierbar sei ; so daß das Bild von y = fix) nacli Nr. 167 
eine Kurve ist. Dabei benutzen wir wieder die Fig. 36 der 
vorigen Nummer. Der Kurve kommt von C bis M eine ge 
wisse Bogenlänge s zu. Olme liier auf die exakte analytische 
Definition dieses Begriffes einzugehen, die erst der zweite Band 
bringen soll, können wir uns doch folgendes vorstellen: 
Es sei unter Beibehaltung der Bezeichnungen der vorigen 
Nummer und der Fig. 36 von C bis M längs der Kurve ein 
unausdehnbarer Faden hingelegt. Alsdann werde er abgenommen, 
gerade gespannt und mittels der Längeneinheit des Koordi 
natensystems gemessen, wodurch die Bogenlänge s von C bis 
M hervorgeht. Bei dieser Vorstellung setzen wir unbewiesen 
voraus, daß die Länge endlich sei. Außerdem sind die Begriffe der 
Biegsamkeit und Unausdehnbarkeit nicht definiert. Immerhin 
mag dies vorläufig als geometrische Erklärung der Bogenlänge 
genügen. 
Der Punkt C habe die Abszisse x 0 = OA und sei fest 
gewählt. Dagegen habe der Endpunkt M eine beliebige Lage 
auf der Kurve, seine Abszisse OP = x sei also veränderlich. 
Alsdann ist s eine Funktion von x, deren Vorhandensein wir, 
wie gesagt, ohne weiteres annehmen. Nunmehr wachse x wie 
in voriger Nummer um Ax, wobei s um As zunehme. Dann 
bedeutet As den Bogen MM 1 . Wir wollen s positiv rechnen 
im Sinne 'wachsender Abszissen, so daß As mit Ax positiv ist. 
Nun ist die Sehne MM X gleich 
}/MJ 2 -f JM X oder Y~Ax 2 -f- Ay 2 . 
Rechnen wir auch die Sehne MM X mit Ax positiv, so wird: 
Sehne MM x =Ax\/1 + , 
und dabei ist die Quadratwurzel positiv. Daher kommt: 
Sehne M M, Sehne MM, l/i /A?/\ 2 
M J = Ax = V 1 + \Äx) ' 
Somit haben wir: 
z/s Bogen MM, Bogen MM, SehneMM, Bogen MM, -t /. /^y\ 2 
~Äx~ MJ = Sehne MM, M-I = Sehne MM X V \AxJ * 
Im zweiten Bande werden wir zeigen, daß das Verhältnis des