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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Bogens MM l zur Sehne MM i für lim Ax = 0 den Grenzwert 
Eins hat. Also kommt: 
folglich: 
(1) 
Der Satz, nach dem der Grenzwert aus dem Verhältnisse des 
Bogens zur Sehne gleich Eins ist, wird übrigens im zweiten 
Bande unter der Voraussetzung bewiesen werden, daß y = f(x) 
in einer Umgebung der betrachteten Stelle x eine stetige Ab 
leitung hat. Unter dieser Voraussetzung also stellt (1) die Ab 
leitung der Bogenlänge s nach der Abszisse x vor, und zivar ist 
dabei, falls s mit x wachsend definiert wird, die Quadratwurzel 
positiv. Für das Differential ds der Bogenlänge gilt die Formel: 
ds = ydx 2 -f- d\f. 
(2) 
Man nennt dies Differential auch das Bogenelement. 
Wird die Kurve in der Form x = (p(t), y = ip(t) gegeben, 
so ist, falls cp(t) und ip(t) in einer Umgebung der betrach 
teten Stelle t stetige Differentialquotienten haben, aber Stellen 
vermieden werden, wo cp'(t) und ip'(t) beide gleich Null sind 
(vgl. Nr. 191): 
Da wir es dann jedoch nach Nr. 169 vorziehen, die Kurve im 
Sinne wachsender Werte von t zu durchlaufen, rechnen wir 
dann s wachsend mit wachsendem t. Infolge davon muß die 
Quadratwurzel in (3) positiv gewählt werden. Der Differential 
quotient der Bogenlänge hat mithin den Wert 
4; »>y «■+«-'(o* 
(4) 
mit positiver Quadratwurzel. 
194. Die Bogenlänge als unabhängige Veränder 
liche. Formeln, die sich auf die Theorie der ebenen Kurven 
beziehen, werden häufig besonders einfach, wenn die Bogen 
länge s als unabhängige Veränderliche gewählt wird. 
193, 194J