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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
oder negativ wird, je nachdem die Kurve von unten gesehen 
konvex oder konkav ist. 
Wenn der Punkt M x immer näher bei M geAvählt wird, 
strebt nun die mittlere Krümmung Ar : As nach einem Grenz 
werte. Es ist nämlich: 
Ar Ar Sehne MM t 
A s Sehne M M x Bogen MM, ’ 
wobei die Sehne M31 x nach Nr. 193 gleich 
und die Quadratwurzel positiv ist. Wir benutzen wieder den in 
Nr. 193 erwähnten Satz, wonach der Grenzwert des Verhältnisses 
der Sehne zum Bogen gleich Eins ist. Daraus folgt jetzt: 
lim 4“ == lim 
As 
A r 
Ax—Q 
A x= 
°'«T 1 i (2)‘ 
Wegen r = arc tg y (vgl. (1) in Nr. 169) ist aber: 
r™ dt darctgi/' y" 
j im . 0 Ax^~ dx % + F' 
Außerdem hat Ay : Ax den Grenzwert 
den Grenzwert: 
(i) 
dt = y" 
ds YT+y**’ 
wo die Wurzel positiv ist. 
Mithin hat Ar : As 
Dieser Grenzwert dx:ds der mittleren Krümmung Ar: As, 
der also hervorgeht, wenn M x immer näher an 31 heranrückt, 
ist die mittlere Krümmung des zur Grenze Null strebenden 
Kurvenbogens M31 x und heißt das Krümmungsmaß oder die 
Krümmung der Kurve im Punkte 31. Das Differential dr des 
Tangentenwinkels heißt der Kontingenzwinkel, so daß wir nach 
(1) sagen können: Die Krümmung ist der Quotient von Kon 
tingenzwinkel und Bogenelement. Sie hat das Plus- oder Minus 
zeichen, je nachdem y" > 0 oder < 0 ist, d. h. je nachdem die 
Kurve an der betreffenden Stelle 31 von unten gesehen konvex 
oder konkav ist, vgl. Satz 6 von Nr. 173. An einer Stelle, wo 
y" =0 ist, d. h. in einem eigentlichen oder uneigentlichen 
Wendepunkte (vgl. Nr. 172), wird die Krümmung gleich Null. 
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