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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Wenn die konstante Krümmung k gleich Null ist, folgt 
aus dt: ds = k, daß dx = 0, also r = arc tg y = konst., daher 
y = konst., etwa y = a, mithin nach Satz 5, Nr. 29, y — ax 
= konst., folglich 
y = ax -f konst. 
wird. Dies aber ist die Gleichung einer Geraden. 
Satz 12: Die Kreise und die Geraden sind die einzigen 
ebenen Kurven konstanter Krümmung, insbesondere die Geraden 
diejenigen von der Krümmung Null. 
Daß jeder Kreis eine konstante Krümmung hat, erhellt 
auch geometrisch. Für ein Bogenstück MM 1 eines Kreises 
um C mit dem Radius N, siehe Fig. 38a, wird nämlich Nr 
gleich dem Zentriwinkel MGM 1 . Dieser aber ist gleich dem 
Bogen Ns oder MM 1 , dividiert mit dem Radius N. Daher 
ist Nt: Ns — 1 : N, d. li. auf dem Kreise ist überhaupt schon 
die mittlere Krümmung konstant, um so mehr also ihr Grenz 
wert, das Krümmungsmaß. Aber wenn man ein Kreisstück 
im Sinne wachsender Abszissen durchläuft, muß zwischen der 
oberen und unteren Kreishälfte unterschieden werden. Man 
ziehe zur Vergleichung die Fig. 38b heran. In beiden Figuren 
wird der Bogen MM t im Sinne wachsender Abszissen durch 
laufen, im big. 38 a ist Nt oder der Zentriwinkel positiv, in 
Fig. 38 b dagegen negativ. Ist also N der positiv gemessene 
Radius, so hat die untere Kreishälfte die konstante Krümmung 
1 : N, die obere die konstante Krümmung — 1 : N. In der 
Tat ist auch die erste Hälfte von unten gesehen konvex, die 
zweite konkav. Man sieht noch mehr: Beachtet man, welche 
Normalenrichtung nach Nr. 169 positiv ist, so ergibt sich, 
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