§ 5. Krümmung der ebenen Kurven 
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198. Der Krümmungsmittelpunkt als Grenzlage 
des Schnittpunktes benachbarter Normalen. Wir wollen 
nun beweisen: 
Satz 13: Per Krümmungsmittelpunkt eines Punktes M 
einer ebenen Kurve ist die Grenzlage des Schnittpunktes der 
Normale von M mit der Normale eines benachbarten Kurven 
punktes M 1 , wenn sich der Punkt M 1 dem Punkte M längs 
der Kurve beliebig nähert. 
In der Tat, die Gleichung der Normale der Kurve y =* f(oc) 
lautet nach (3) in Nr. 169 in den laufenden Koordinaten £, t) so: 
(1) £ — x + y'(t) — y) = 0. 
Wir bezeichnen ihre linke Seite, die ja wegen y — f{x), y =f\x) 
eine Funktion von x ist, mit V, so daß 7 = 0 die Gleichung 
der Normale bedeutet. Um die Gleichung der Normale des 
Kurvenpunktes M x oder (x + Nx, y-\- Ny) zu erhalten, muß 
man in dieser Gleichung V= 0 die Größen x, y, y durch 
x-\-Nx, y-\-Ny, y -j- Ny ersetzen; alsdann wachse V um N V. 
Der Schnittpunkt beider Normalen wird also durch 
7=0, 7+¿/7=0 
oder durch 
7=0, ¿/7=0 
oder auch durch 
F =°- Ä = ° 
gegeben. Nehmen wir nun an, daß der Punkt M x längs der 
Kurve nach M rücke, so wird der Schnittpunkt der beiden 
Normalen in eine Grenzlage gelangen, deren Koordinaten durch 
die beiden Gleichungen 
7=0, ^=0 
’ dx 
bestimmt sind. Die erste ist die Gleichung (1). Die zweito 
ergibt sich aus ihr durch vollständige Differentiation nach x, 
wobei man £ und t) als Konstanten behandelt; sie lautet also: 
(2) ^ = - (1 + y 2 ) + (t) - y)y" = 0. 
Bezeichnen wir die den Gleichungen (1) und (2) genügenden 
Werte von £, 1} mit x 1} y x , so kommt: 
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