§ 6. Krümmung der ebenen Kurven 
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geben die Koordinaten x x , y x des zu einem Punkte M oder 
(x, y) der gegebenen Kurve gehörigen Punktes C der Evolute, 
ausgedrückt durch x,y,x und II. Diese vier Größen sind längs 
der Kurve der Punkte M sämtlich Funktionen einer einzigen 
Veränderlichen (z. B. vou x). Daher gibt die Differentiation: 
dx x = dx — B cos x dt — sin x dB, 
dy x — dy — B sin x dx -(- cos x dB. 
Weil aber nach (1) in Nr. 194 für dx und dy die Werte 
ds cos x und ds sin r gesetzt werden können und außerdem 
ds — Bdx ist, kommt: 
dx — B cos x dx — 0, dy — B sin x dx = 0, 
so daß einfach bleibt: 
(2) dx x = — sin x dB, dy x = cos x dB. 
Hieraus folgt: 
= — Ctg X = tg (x + i-7t). 
dx, 6 OV I 2 y 
Aber x -f-k ist der Normalenwinkel v. Also folgt: 
Satz 14: Die Normalen einer ebenen Kurve sind zugleich 
die Tangenten ihrer Evolute, und zwar berührt die Normale 
eines Kurvenpunktes die Evolute in dem zugehörigen Krümmungs 
mittelpunkte der Evolvente. 
Haben wir bei der ursprünglichen Kurve der Punkte M 
einen bestimmten Fortschreitungssinn festgesetzt, so haben 
ihre Tangenten und folglich auch ihre Normalen bestimmte 
positive Richtungen, denn wir nehmen ja an, daß die positive 
Normale ebenso zur positiven Tangente liege wie die positive 
«/-Achse zur positiven ¿c-Achse. Da nun die Normalen die Evo 
lute berühren, setzen wir fest: Die Evolute soll in demjenigen 
Sinne durchlaufen werden, der den positiven Richtungen der 
Normalen der Kurve der Punkte M entspricht. In diesem 
Sinne messen wir also auch die Bogenlänge der Evolute. 
Hierbei ist zu bemerken: Für ein Stück M 0 M X der ge 
gebenen Kurve liegt das zugehörige Evolutenstück C 0 C X völlig 
auf derselben Seite der Kurve, sobald längs M 0 M X kein Wende 
punkt (in dem B nach Nr. 197 unendlich groß würde) und 
kein singulärer Punkt (den wir ja ein für allemal ausschließen) 
vorhanden ist. Außerdem hat die Evolute, wenn etwa t die 
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