§ 6. Polarkoordinaten 
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negativ gewählt werden, d. h. M 1 vor M zwischen A und M 
gewählt werden. Dann ist auch Au negativ. Wir behaupten 
nun, daß der somit stets positive Differenzenquotient Au:Aco 
für lim A co = 0 einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. 
Es sei nämlich g der längste, Je der kürzeste unter allen 
Radienvektoren zwischen OM und OM 1 . Schlagen wir um 
0 die Kreise mit den Radien g und Je, so schneiden die Strahlen 
OM und 0M X von ihnen Sektoren aus, von denen der erste 
größer, der zweite kleiner als Au ist. Absolut genommen 
haben die beiden Kreissektoren die Inhalte \-g 2 \Aco\ und %Je 2 \Aco\. 
Demnach genügt der stets positive Bruch Au : Aco den Un 
gleichungen : 
Für lim z/co = 0 rücken OM und 0M t zusammen, also auch 
die beiden Werte Je und g in den Wert q=OM. Demnach er 
gibt sich für Au : Aco der Grenzwert: 
o 
(1) 
Dies also ist die Ableitung der SeJetorfläche u nach der Ampli 
tude co. Das Differential der Fläche ist: 
du = ^q 2 dco. 
(2) 
Wollen wir rechtwinklige Koordinaten x, y nach Nr. 203 
einführen, so ziehen wir aus tg co = y : x durch Differentiation 
die Formel 
doo x dy — y dx 
cos 2 © x 2 ’ 
aus der wegen x = q cos co sofort folgt: 
q 2 dco = x dy — y dx. 
Aus (2) ergibt sich somit: 
(3) du = \(xdy — y dx). 
(3) 
205. Das Bogenelement in Polarkoordinaten. Wenn 
wir eine Kurve q = f(co), deren Radienvektoren q positiv seien, 
im Sinne wachsender Amplituden co durchlaufen und in diesem 
Sinne die Bogenlänge s der Kurve von einer bestimmten Stelle 
23* [¡804, 305