§ 2. Von den Funktionen 
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Fig. 6. 
— -\-jt <1 x jeden Wert zwischen — 1 und -f 1 je ein 
mal an; cos# tut dasselbe im Intervalle 0 <[ x -f- jt; tg# 
nimmt jeden Zahlenwert einmal im Intervalle — n < # < -f- 
und ctg x jeden einmal im Intervalle 0 < x < n an. Für 
x = + I x aber hat tg# keinen endlichen Wert, ebenso wenig 
ctg x für x = 0 und x = 7t. Dieselben Erscheinungen wieder 
holen sich periodisch. 
10. Die inverse Funktion. Es sei y = f(x) eine Funk 
tion von x für jedes x, das dem Intervalle a <^x <jb angehört. 
Dann entspricht jedem Werte x dieses Intervalles ein gewisser 
Wert y. Die Gesamtheit dieser Werte möge dem Intervalle 
A y B angehören. Nimmt f(x) jeden Wert zwischen A 
und B nur einmal an, so entspricht auch | 
umgekehrt jedem Werte y des Intervalles ^ 
A<^y<zB ein bestimmter Wert x, für 
den y = f(x) wird. Dann ist also auch x 
eine Funktion von y, die wir etwa mit ^ 
x = F(y) bezeichnen. Diese Funktion x 
von y heißt die zur Funktion f(x) inverse 
Funktion. Fig. 6 sucht die Definition zu 
erläutern. Der Kurvenbogen gebe den Verlauf der Funk 
tion y = /'(#), wenn x als Abszisse, y als Ordinate gewählt 
ist. Die Projektion der Kurvenpunkte auf die #-Achse liefert 
alle Funkte des Variabilitätsbereiches a^x<Lb. Projiziert 
man den Kurvenzug auf die «/-Achse, so wird auf dieser das 
Intervall von A bis B abgeschnitten. Da jedem Werte y 
dieses Intervalles ein und nur ein Wert x des Intervalles von 
a bis b entsprechen soll, wird bei der Projektion des Kurven 
bogens auf die «/-Achse der Abschnitt von A bis B lückenlos 
und überall einfach überdeckt. Betrachtet man jetzt y als un 
abhängige Veränderliche und sucht man denjenigen Wert x im 
Intervalle von a bis b, für den y = f(x) wird, so bildet man 
die Funktion x = F(y). Geometrisch wird sie erhalten, indem 
in den einzelnen Punkten y des Intervalles A «/ B Paral 
lelen zur #-Achse von der Länge und Richtung gezogen werden, 
die jedesmal durch x = Ffy) bestimmt sind. Dabei entsteht 
genau der alte Kurvenzug wieder, jedoch hat jetzt die Abszissen 
achse ihre Bolle mit der Ordinatenachse vertauscht. 
S erret-S cheffers, Diff.- u. Intogr.-Eeehu. I. 6. u. 7. Aufl. 
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