§ 7. Einhüllende Kurven 
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nur muß man a nicht mehr als Konstante, sondern als die 
jenige Funktion von x und y betrachten, die durch die zweite 
Gleichung (2) bestimmt wird. Unter dieser Annahme hat man 
jetzt wieder die Gleichung (1) zu differenzieren, und das ergibt: 
F x dx + F dy 4- F a da = 0. 
Da nun für jeden Punkt der Einhüllenden F a = 0 ist, 
nimmt diese Gleichung dennoch wieder die Form (3) an. Also 
erhält man für einen Punkt (x, y), der als Schnittpunkt einer 
Kurve der Schar mit einer benachbarten Kurve der Schar auch 
auf der Einhüllenden liegt, stets: 
(jy = _ F x 
dx F 7 
y 
ob nun der Punkt (x, y) als Punkt der Kurve der Schar oder 
ob er als Punkt der Einhüllenden betrachtet wird. Hiermit ist 
der Satz bewiesen. 
Der Beweis versagt, wenn F x = F — 0 ist, d. h. wenn 
der Punkt [pc, y) ein singulärer Punkt der gerade betrachteten 
Kurve der Schar ist. (Ygl. Nr. 191.) 
Ein Beispiel für die im Satz 17 ausgesprochene Eigen 
schaft der Einhüllenden haben wir bereits behandelt: Die 
Evolute einer Kurve ist nichts anderes als die Einhüllende der 
Normalenschar, und wir haben gesehen, daß sie die Normalen 
berührt. Siehe Satz 13 in Nr. 198 und Satz 14 in Nr. 200. 
Die Gleichung F(x,y,a) = 0 kann, wenn die Koordi 
naten x, y eines Punktes M in sie eingesetzt werden, mehrere 
Werte a liefern; unter diesen ist aber, wenn M zugleich ein 
Punkt der Einhüllenden ist, jedenfalls einer vorhanden, der 
auch der Gleichung F a = 0 genügt. Die auf diese Weise be 
stimmte Kurve der Schar wird von der Einhüllenden berührt, 
während die anderen Kurven der Schar, die etwa auch durch 
den Punkt M gehen, die Einhüllende daselbst schneiden können. 
Wenn der Parameter u in der Funktion Fix, y, a) nur 
im ersten Grade vorkommt, die Gleichung der Kurvenschar 
also die Form 
(4) cp(x, y) + tttyix, y) = 0 
hat, wird die Gleichung F a — 0 frei von a, nämlich diese: 
tfa V) = °- 
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