§ 8. Oskulierende Kurven 
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§ 8. Oskulierende Kurven 367 
der Satz 19 von Nr. 112 für » = ii + 2 angewandt werden 
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1 tatao samtiic; 
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1 iT gi Sii 
kann. Vermehren wir x um /ix, so werden die zur Abszisse 
x + /ix gehörigen Ordinaten Y und Y 1 beider Kurven wegen 
(1) gegeben durch: 
x y • y 1! J 2! ‘ '' (i! 1 " 1 (“+21 
‘«er Otribn» 
„ ,Ax „{/Ixy ( Jzlxy ,, 17 (/lx)‘ u+1 , -r,, 
*i=y + y -jj + y 2i - + • ■• ■• ■+ ^-JT + ^’k+1)! + B »+r.’ 
sobald \/tx| hinreichend klein ist, und daher wird die Differenz 
^. ¿wen örf. 
«zeichnen. F; 
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f uemein kie. 
Wext j ikrè 
Foaktionenf: 
(3) r - r > - 0. + D1 + 1 + B *+» - 
an der Stelle x, d. h. für lim /1x = 0, mit /ix in der (ja-)-l) ten 
Ordnung gleich Null. 
Die letzte Gleichung liefert uns eine geometrische Defini 
tion der Zahl g, der Ordnung der Berührung: In Fig. 44 soll 
OP = x, PP' = /ix sein. Ferner sollen M' und m die zur 
nerbar xä 
foWbira 
»na fir die h- 
Abszisse x /ix gehörigen Punkte beider Kurven sein, d. h. 
P'M' = Y, P'm = Y t , so daß Y— Y x = mM' 'ist. Da mM' 
mit /ix in der Ordnung g- + 1 gleich Null wird, ist 
M: 
mM' 
hm 7-7- 
pp’ = 0 pp'V + i 
m Tt 
, and nflodm 
endlich und von Null verschieden. 
Um die Strecken mM' und PP' durch solche zu ersetzen, 
die eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung haben, 
ve eine Genda 
eil gleich H 
ad (2), dal h 
ist, ferner j, 
0 ist Da® 
ig höherer № 
m.Vr.luf 
der Bernir® 
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irfM* 1 
verschieben wir den Anfangspunkt der Koordinaten in den 
Punkt M und machen die Tangente t in M zur «-Achse. Wenn 
wir die Koordinaten in dem neuen System mit überstrichenen 
Buchstaben bezeichnen, bestehen in bezug auf die erste Kurve 
Gleichungen von der Form: 
x = x cos u + y sin cc + cl, y = — x sin cc + y cos cc + b. 
Bedeuten y', y" usw. die Ableitungen von y nach x, so folgt, 
daß 
dy — sin a -j- y' cos a. 
y dx cos a -f- y sin a 
ist, und allgemein drückt sich yW durch y, y', . . . y^ aus. 
Genau ebenso drückt sich bei der zweiten Kurve y^ n \ d. h. 
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