368 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven
die w te Ableitung von y 1 nach x, durch yf, yf, . . . yf n) aus.
Infolge von (1) und (2) ist also auch in dem neuen Koordi
natensystem für den Punkt M:
¥i = ¥, ¥i = ¥',■•• ¥i Qi) = ¥ w , aber + 4= ¥ {M + 1) -
In dem neuen System ist anstatt mM' die Strecke MfM
senkrecht zur Tangente mit dem Fuß punkte Q und anstatt
PP' die Strecke MQ zu nehmen. Diese beiden Größen haben
eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung.
Fällt man also von einem Punkte M', der auf der Kurve ¡ : : m ;
y = f(x) in der Umgebung von M liegt, das Lot MQ auf die
gemeinsame Tangente beider Kurven im gemeinsamen Punkte
M, so schneiden beide Kurven auf dem Lote das Stück MfM'
aus; der Fußpunkt Q des Lotes ist um die Strecke MQ vom
gemeinsamen Berührungspunkte M entfernt; und wenn a die
Ordnung der Berührung beider Kurven ist, muß
,. M'M'
lim —i——
mq = oMQ^ + 1
endlich und von Null verschieden sein. Daher gilt der
Satz 18: Wenn zwei ebene Kurven y = f(x) undy l =f i (x)
den PunJd M mit der Abszisse x gemein haben und einander dort
in der g ten Ordnung berühren, wenn also dort y .== y v y = yf, . .
.. yff) = y^, aber yA + V =j= yf u + 1 '> ist, tritt folgendes ein:
Schneidet eine zur gemeinsamen Normale von M benachbarte dassei: •
parallele Gerade, die von M den Abstand MQ hat, die Kurven . ?
in M' und Mf, so ist der Grenzwert von Mf M': MQ U + 1 für ft
lim MQ = 0 endlich und von Null verschieden. Vorausgesetzt ,e
wird dabei, daß fix) und fix) nebst ihren Ableitungen bis zur punki-e*
(g + 2) ten Ordnung in der Umgebung des betrachteten Wertes x .
bestimmt und endlich seien. _ : . jj
Später (in Nr. 298) werden wir zeigen, daß umgekehrt,
wenn der Quotient Alf M': MQ U + 1 einen endlichen und von ^
Null verschiedenen Grenzwert hat, stets eine Berührung in
. , „ , ; ° wrr.o
gerade u ter Ordnung emtritt.
.. fix ID
215. Berührung in gerader und ungerader Ordnung.
Ist die Ordnung g der Berührung ungerade, so ändert Y — T)
nach (3) in voriger Nummer und nach Satz 22 von Nr. 115
214, 215] s*rrt
