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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Der Kurve K stellen wir eine Schar von Kurven K' gegenüber: 
Fix, y lt c 0 , et, — c n ) = 0, 
in deren Gleichung n + 1 willkürliche Konstanten c 0 , c L , . . . c n 
Vorkommen und deren Ordinaten wir mit y x bezeichnen. Wir 
wollen annehmen, daß die Gleichung der Schar nach y x auf 
lösbar und diese Funktion y l von x, c 0 , c 1} ... c n in der Um 
gebung von x = x 0 nach dem Taylorschen Satze entwickelbar 
sei. Dabei mögen als Koeffizienten der ersten n -f- 1 Glieder 
insbesondere die n + 1 Konstanten c 0 , c 1} ... c n selbst auf- 
treten. Dann sieht die Gleichung der Kurvenschar so aus: 
(2) Vi = c o + (? — x 0 ) + c 2 (x-xj -1 
+ c n (x- x 0 ) n + A„ +1 (x - x 0 ) n+1 + • • •. 
Die Größen c 0 , c lf . . . c n sind willkürlich, aber die folgenden 
Koeffizienten A n+1 , A n+2 , . . . gegebene Funktionen von ihnen. 
Wird nun eine ganze positive Zahl y kleiner als n ge 
wählt, so kann man über die Konstanten c 0 , c 1} ... c n so ver 
fügen, daß die Kurven K und K in einem zu x Q gehöi'igen 
Punkte M einander in der y ten Ordnung berühren. Zu diesem 
Zwecke hat man ja nur c 0 , c lf . . . c fl so zu wählen, daß 
Vo 
2! ’ * • * 
(3) c 0 y 0 , c 1 y 0 , c 2 
wird, und insbesondere wird man noch 
zu wählen haben. Die übrigen n — Konstanten bleiben 
dann willkürlich. Wird aber (i = n angenommen, so ist die 
Kurve K' der gegebenen Schar durch die Gleichungen (3) 
vollkommen bestimmt und hat im Punkte (x 0 , y 0 ) mit K eine 
Berührung von mindestens n tec Ordnung. In diesem Falle sagt 
man: Die Kurve K' der gegebenen Kurvenschar oskuliert die 
Kurve K im Funkte M. Dann ist nämlich diejenige unter 
allen Kurven der Schar bestimmt worden, die mit der Kurve K 
an der Stelle (x 0 , y 0 ) eine Berührung von der größtmöglichen 
Ordnung eingeht. 
Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden. Durch die n -f 1 
Gleichungen