§ 8. Oskulierende Kurven 
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sind nämlich jetzt alle c bestimmt und mit ihnen daher auch 
bereits alle folgenden Koeffizienten A n + 1> A n + 2 , . . . in der 
Entwicklung (2). Im allgemeinen wird nun nicht auch 
v {n + 1) 
A = 
n + l (n+1)! 
werden;? die Berührung wird also im allgemeinen gerade die 
von n teT Ordnung seiu. Aber die letzte Gleichung könnte an 
der Stelle x 0 doch erfüllt werden und sogar auch von den 
folgenden Gleichungen einige. Dann ist die Berührung von 
noch höherer als n teT Ordnung. Die Kurven K und K' könnten 
sogar möglicherweise völlig zusammenfallen. 
Man wird unter Umständen auch bei einer Kurvenschar, 
deren Gleichung die allgemeine Form 
(4) A'(^, y 1 , c 0 , Cj,.. . c n ) = 0 
hat, über die m + 1 Konstanten so verfügen können, daß die 
Berührung mit der Kurve K mindestens von der w ten Ordnung 
wird. Die Konstanten können jedoch so in I eingehen, daß 
dies nicht mehr möglich ist. Die Behauptung, daß in der 
Schar, wenn ihre Gleichung in der Form (4) gegeben ist, eine 
Kurve enthalten sei, die K in mindestens n teT Ordnung be 
rührt, bedarf daher in jedem Falle eines besonderen Nach 
weises, indem man sich nicht mit der bloßen Abzählung der 
Konstanten begnügt, sondern die fragliche Kurve der Schar 
tatsächlich bestimmt. 
217. Oskulierende Gerade und oskulierender Kegel 
schnitt. Die Gleichung einer Geraden enthält nur zwei Kon 
stanten und läßt sich sofort in die Form (2) der vorigen 
Nummer setzen. Man kann daher zwischen einer gegebenen 
Kurve und einer Geraden in einem allgemein gegebenen Kurven 
punkte nur eine Berührung in erster Ordnung herstellen. Die 
oskulierende Gerade ist also nichts anderes als die Tangente der 
Kurve. Es ist nämlich 
Vi = % + c i ( x ~ x o) 
die allgemeine Gleichung einer Geraden, und man hat nach (3) 
in voriger Nummer anzusetzen: 
c o ~ Vo 7 c l ~ Vo • 
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[216, 217