378 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
221. Die Hypertaelfläche. Hier schicken wir voraus: 
Die Betrachtung in Nr. 192 bleibt — wie übrigens auch manche 
andere unserer früheren Betrachtungen — richtig, wenn die 
Koordinaten x, y nicht recht-, sondern schief 
winklig sind. An die Stelle der in Nr. 192 
erwähnten Rechtecke treten dann Parallelo 
gramme. Die Flächeneinheit ist der Inhalt 
desjenigen Rhombus, dessen Seiten parallel zu 
den Achsen und gleich der Längeneinheit sind. 
Wir betrachten nun eine Hyperbel, die 
auf ihre beiden Asymptoten als Koordinatenachsen bezogen ist; 
ihre Gleichung lautet: 
xy = m 2 , 
wenn m die Abszisse des einen Scheitels bedeutet. 
Die Fläche, die zwischen der Kurve, der :r-Achse und 
den Ordinaten AC und PM liegt, sei gleich u. OA = x 0 sei 
fest und OP = x > x 0 veränderlich. Siehe Fig. 47. Nach 
Nr. 192 ist allgemein: 
du = ydx. 
Also wird für die Hyperbel: 
7 o dx 
du = m 
x 
Nun ist dx: x das Differential des natürlichen Logarithmus 
von #; daher kommt nach Satz 8 von Nr. 29: 
u = m 2 ln x -f- konst. 
Die Fläche u ist gleich Null, wenn x gleich der Abszisse x 0 
des Punktes C ist; folglich muß sein: 
0 = m 2 ln x 0 -f- konst. oder konst. = — nv ln x 0 . 
Demnach wird: 
u = m** ln 
*0 
Benutzen wir als Flächeneinheit nicht den Rhombus mit 
den Seitenlängen Eins, sondern das Quadrat, dessen Seiten 
länge die Längeneinheit ist, so ändert sich die Formel. Ist 
nämlich a der Winkel der beiden Koordinatenachsen, d. h. der 
Hyperbelasymptoten, so ist dann noch mit sin a zu multipli- 
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