§ 1. Die Fläche und das Bogenelement der Kegelschnitte 379 
zieren, da sich der Inhalt des Rhombus zu dem des Quadrates 
wie sin a zu Eins verhält. Also kommt dann: 
u = m 2 sin cc ln —• 
x 0 
Bei einer gleichseitigen Hyperbel ist a ein rechter Winkel. 
Wählen wir bei ihr als feste Anfangsordinate die des einen 
Scheitels der Hyperbel, für den x 0 = m ist, und nehmen wir 
m gleich der Längeneinheit an, so wird: 
u = ln x. 
Die durch die verschiedenen Ordinaten der gleichseitigen 
Hyperbel begrenzten Flächen sind also gleich den natürlichen 
Logarithmen der entsprechenden Abszissen. Deshalb heißen die 
natürlichen Logarithmen auch die hyperbolischen. 
222. Das Bogenelement der Ellipse. Die Koordinaten 
des laufenden Punktes einer Ellipse, bezogen auf die Haupt 
achsen, lassen sich als Funktionen einer Hilfsveränderlichen qp 
durch die Gleichungen 
x = a sin cp, y — b cos cp 
ausdrücken; a und b sind die Längen der Halbachsen, während 
die Hilfsveränderliche cp einen gewissen Winkel bezeichnet. 
Konstruiert man nämlich den konzentrischen Kreis mit dem 
Durchmesser 2 a, so wird der zu einem Punkte M der Kurve 
zugehörige Winkel cp gefunden, indem man die Ordinate FM 
(vgl. Fig. 46 auf S. 377) bis zu ihrem Durchschnitte M' mit 
diesem Kreise verlängert; denn es ist alsdann B' OM' = cp. 
Aus den vorstehenden Gleichungen folgt: 
dx = a cos cpdcp, dy = — b sin cpdcp. 
Daher ist nach (2) in Nr. 193 das Bogenelement der El 
lipse: 
(1) ds =]/a 2 cos 2 cp +& 2 sin 2 cpdcp. 
Bezeichnet man mit h die Exzentrizität der Ellipse, näm 
lich den Quotienten )/a 2 — b*: a, so gewinnt dieser Ausdruck 
die Form: 
(2) ds = a]/l — k 2 sin 2 cpd(p, 
wofür man auch schreiben kann: 
[»«1, 222