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Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
(3) ds - a (- M = - r )• 
V \|/l—k 2 sin 2 qp "j/l — k 2 sin 2 qp/ 
Bisweilen ist es nützlich, ds als Funktion des Winkels v 
zu bestimmen, den die Normale der Ellipse mit der x-Achse 
bildet. Nach den vorigen Formeln und nach (2) in Nr. 169 
wird: 
dx 
also: 
und: 
*g v ^~Hj = T ct 8<P’ d - k t g9 = y ct gv, 
a 2 cos 2 cp + & 2 sin 2 (p 
7 acos 2 qp 7 
ctcp = i——— av = — 
a 2 V- 
Daher kommt: 
oder auch: 
(4) 
b sin s 
d.s = 
a 2 cos 2 i> -f- b 2 sin 2 v 
ab dv 
a 2 cos 2 v + b 2 sin 2 r 
— a 2 b 2 dv 
ds = 
ya 2 cos 2 v -f- b 2 sin 2 v 
b 2 —dv 
M 
a y 1 — k 2 sin 2 v 
Da v = x + nach Nr. 169 ist, wird dv = dx. Folglich 
ist ds : dv nach Nr. 197 der Krümmungsradius der Ellipse. 
223. Das Bogenelement der Hyperbel. 
Wählen wir als #-Achse die Nebenachse, als y- 
Achse die Hauptachse einer Hyperbel und be 
zeichnen wir mit 2 a die Länge der Nebenachse, 
mit 2 b die Länge der Hauptachse, setzen wir ferner 
k — b :]/a 2 -f & 2 , so ist die Gleichung der Kurve 
(siehe Fig. 48): 
Kg. 48. y = ——-1/x 2 -f q 2 . 
9 yi — fc 2 
Die Koordinaten x, y kann man als Funktionen einer 
Hilfsveränderlichen <p ausdrücken, indem man 
VT 
& 
a]/l — k 2 tg cp, y = 
ak 
— k 2 sin 2 qp 
cos qp 
y 1 — k 2 
setzt, denn diese Funktionen genügen bei jedem Werte von cp 
der Kurvengleichung. Hieraus folgt: 
^dcp ¿ ' „t/i 7,2 Ä; sin