382 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
so daß die Parabel mittels der Hilfsveränderlichen x auch so 
dargestellt werden kann: 
y = p ctg t, x = ctg 2 x. 
Dies ist übrigens ein Beispiel zu (3) in Nr. 213, indem jetzt die 
Funktion f(x) den Wert — p cos 2 x: 2 sin x hat. Nun ergibt sich: 
dy = — 
pdt 
sin S T ’ 
dx = 
p ctg r dt 
sin 2 T 
demnach als Bogendifferential nach (2) in Nr. 193: 
pdr 
(1) 
ds = — 
Wir müssen hier das Minuszeichen setzen, 
weil die Bogenlänge s, die wir vom Schei 
tel an rechnen wollen, wächst, wenn der 
Winkel x abnimmt. 
Bezeichnen wir mit t die Länge PM 
der Tangente zwischen ihrem Schnittpunkte 
P mit der y- Achse und dem Berührungspunkte M, der zu 
gleich Endpunkt des Bogens s ist (siehe Fig. 49), so wird: 
demnach: 
(2) 
X p COS X 
cos t 2 sin 2 r’ 
dt 
p dt dt 
„ p ^ 3 • 
2 Sin T Bin 5 ! 
Subtraktion dieser Gleichung von (1) gibt: 
(3) <*(—<)--*£• 
In Nr. 52 wurde erkannt, daß dx : sin x das Differential von 
ln tg ^x ist; mithin kommt nach Satz 8 von Nr. 29: 
s — t — —ln tg \x 4- konst. 
Der Bogen s und die Strecke t verschwinden aber für x = 
d. h. wenn M in 0 liegt, folglich ist die Konstante gleich 
Null; es kommt also als Bogenlänge der Parabel: