384 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kru-ven 
bekanntlich der Parameter des Kegelschnittes heißt. Durch 
zweimalige Differentiation erhält man: 
(2) yy'-p + q%, 
(3) yy”+y'* = q- 
Multipliziert man die Gleichungen (1) und (3) miteinander 
und subtrahiert man alsdann die Gleichung (2), nachdem sie 
ins Quadrat erhoben worden ist ; so folgt: 
Q // 9 
yy =—p- 
Der in Nr. 197 gewonnene Wert (1) für den Krümmungsradius 
wird daher hier: 
x> Vy*G + y 2 ) 3 
pi i 
wobei die Quadratwurzel positiv ist. Nach Nr. 170 hat aber, 
wenn die Normale des Kurvenpunktes die x-Achse in N trifft, 
die Länge MN dieser Normale den Wert: 
MN=-yYl +y'*. 
Demnach ergibt sich: 
(4) 
Ii = 
MN S 
V 2 
Der Krümmungsradius des Kegelschnittes ist also zum 
Kubus der Normale proportional, diese gerechnet vom Kurven- 
punkte M bis zum Schnittpunkte N mit der Hauptachse. In (4) 
ist MN positiv oder negativ, je nachdem die Richtung von 
M nach N die positive oder negative Richtung der Normale 
ist. Die Kurve wird positiv im Sinne wachsender x durchlaufen. 
Die Gleichung (2) gibt nach (1), ins Quadrat erhoben: 
rV 2 = p 2 + 2pq% + gV «= p 2 -f qy % , 
folglich ist: 
(5) MN - V^+oTvJ 1 , 
wo die Wurzel positiv oder negativ ist, je nachdem y für den 
betrachteten Punkt M negativ oder positiv ist, wie die vorher 
aufgestellte Formel MN =- — y j/l -f- y' 2 zeigt, in der die 
Wurzel nach Nr. 170 positiv ist. Man kann mithin den 
Krümmungsradius nach (4) und (1) leicht als Funktion einer 
der beiden Koordinaten ausdrücken. 
Einen anderen bemerkenswerten Ausdruck für ihn erhält 
man, wenn man den Winkel A einführt, den die Normale mit 
22G]