390 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
einer beliebigen Lage, M der zugehörige Punkt der Zykloide und 
P der Fußpunkt seiner Ordinate, so daß AP = x, PM=y 
ist. Ferner sei H der höchste Punkt des Kreises und 0 seine 
Mitte. Die Parallele zur x-Achse durch M treffe den Durch 
messer GH in J. Dann ist: 
x=AG-PG=AG- MJ, y = GO — JO. 
Bedeutet a den Radius des erzeugenden Kreises und cp den 
Wälzung sw inkel, d. h. den Winkel, den der Radius OM mit 
dem Radius OG bildet, so ist: 
M J = a sin cp, JO = a cos cp. 
Dabei ist cp positiv gemessen im Sinne der Drehung, die der 
Kreis beim Abrollen erfährt, also entgegen dem Sinne der 
Drehung von der positiven #-Achse zur positiven y-Achse. 
Nun ist die Strecke AG gleich der Länge des Kreisbogens 
GM = acp, weil der Kreis ohne Gleiten auf der Geraden rollt. 
Mithin wird: 
(1) x = a(cp — sinqo), y = a( 1 — cosqp) = 2a sin 2 y<p, 
und man erhält alle Punkte des einen sich periodisch wieder 
holenden Teiles der Kurve, wenn man der Größe cp alle Werte 
von 0 bis 2% gibt. Die zweite Gleichung (1) liefert: 
a— y 
cp = arc cos - 
T a 
ci 
—also 
a 7 
(2) 
cos cp = 
daher: 
(3) 
Einsetzen dieser Werte in die erste Gleichung (1) gibt: 
a — y 
x == a arc cos -- 
- ]/2ay — y*. 
(4) 
a 
Beschränken wir uns auf Werte von cp zwischen 0 und 2x, 
so sind unter der Arkusfunktion die beiden Werte zwischen 
0 und 2% zu verstehen; zu dem zwischen 0 und n gehört ein 
positiver, zu dem zwischen n und 2 tc ein negativer Wert der 
abzuziehenden Quadratwurzel. 
Es ist aber nicht vorteilhaft, die Gleichung (4) an die 
Stelle der Gleichungen (1) zu setzen, und wir behalten daher 
diese bei. Durch sie werden x und y als Funktionen einer 
231J