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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
Wir betrachten jetzt eine Fläche, die wir uns vorläufig 
geometrisch gegeben denken. Fällen wir von einem beliebigen 
Punkte (x, y, z) der Fläche das Lot auf die xy-Ebene, so 
gebt ein Fußpunkt (x, y) in dieser Ebene hervor. Umgekehrt 
wird zu jedem Punkte (x, y) der Ebene — innerhalb eines 
gewissen Yariabilitätsbereiches von x und y — ein Punkt 
(x, y, z) der Fläche gehören, dessen Höhe z über jenem Fuß 
punkte eine Funktion von x und y sein wird. Daher definiert 
analytisch eine Gleichung von der Form 
(4) z = fix, y) 
eine Fläche. Diese Gleichung ist nach z aufgelöst. Soll es 
noch dahingestellt bleiben, nach welcher der drei Koordinaten 
sie auflösbar ist, so wird die Fläche durch eine unaufgelöste 
Gleichung 
(5) F(x, y,e) = 0 
gegeben. Wir schließen hieraus: In der Form (3) wird eine 
Raumkurve als Schnittkurve von zwei Flächen F= 0 und 6r = 0 
definiert. 
Es gibt eine noch allgemeinere Art, eine Fläche analytisch 
zu definieren. In (1) waren die Koordinaten eines Punktes 
(x, y, z) einer Kurve als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t 
gegeben. Wir wollen dagegen jetzt x, y, z als Funktionen von 
zwei Hilfsveränderlichen u und v annehmen: 
(6) x = <p(u,v), y = x (u,v), z = il>(u,v). 
Alle Punkte (x, y, z), deren Koordinaten hierdurch bestimmt 
werden, gehören einer Fläche an, wenn die Funktionen g 
nicht alle drei voneinander abhängig sind und zwei der Glei 
chungen u und v als Funktionen der Koordinaten definieren. 
Sind nämlich z. B. cp und % voneinander unabhängig, so setzen 
wir die durch die beiden ersten Gleichungen definierten Funk 
tionen u und v von x und y in die letzte Gleichung ein, wo 
durch eine Darstellung von der Form (4) hervorgeht, 
Ein einfaches Beispiel hierzu gibt uns die Darstellung 
einer Kugel mit dem Radius r, deren Mittelpunkt der Anfangs 
punkt ist, wenn wir uns der räumlichen Polarkoordinaten 
r, 6, x\) bedienen (vgl. Nr. 97). Denn vermöge 
(7) x == r sind cosxjj, y[ = r sinö sin^, z = r cos# 
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