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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
MM' geben wir also bei der Annahme ¿/¿>0 als positiven 
Sinn den von M nach M', demnach auch ihrer Grenzlage, der 
Tangente. Ziehen wir vom Anfangspunkte 0 aus einen Strahl 
OM parallel zur positiven Tangente von M, so bildet er mit 
den positiven Achsen drei Winkel, deren Kosinus die Eich- 
tungskosinus der Tangente des Punktes M heißen. Geben wir 
insbesondere dem Strahle OM die Länge Eins, so sind die 
rechtwinkligen Koordinaten des Punktes M jene Richtungs- 
kosinus, woraus folgt, daß die Summe der Quadrate der Eich- 
tungskosinus einer Geraden stets gleich Eins ist. Da im Raume 
nicht wie in der Ebene von einem bestimmten Drehsinne ge 
sprochen werden kann, bildet OM z. B. mit der positiven x- 
Achse unzählig viele Winkel, die alle in der Form ±ra-f 2/;ji 
dargestellt werden können, wenn a einer von ihnen und k 
eine beliebige ganze Zahl ist. Die goniometrischen Funktionen 
dieser Winkel ändern sich mit Ausnahme des Kosinus sämtlich, 
wenn C3 das Vorzeichen wechselt. Während also im Raume 
die Winkel zwischen einer mit positivem Sinne versehenen 
Geraden und den drei positiven Achsen nicht einwertig sind, 
auch wenn man von dem selbstverständlichen Summanden 2kvt 
absieht, haben sie dennoch ganz bestimmte Kosinus. Um 
gekehrt gehört zu drei bestimmt gewählten Richtungskosinus, 
deren Quadratsumme gleich Eins ist, stets eine und nur 
eine auch dem Sinne nach bestimmte Richtung im Raume. 
Dies ist der Grund, weshalb man in der Geometrie des Raumes 
nicht die Winkel selbst, sondern nur ihre Kosinus benutzt. 
Wir werden daher nicht die Winkel der positiven Tangente mit 
den positiven Achsen, sondern die Kosinus dieser Winkel mit 
Buchstaben a, ß, y bezeichnen. 
Nach (2) sind a, ß, y proportional zu x, y', z\ außerdem 
haben sie dieselben Vorzeichen wie x, y, z. Da a 2 -f- ß- -f y 2 {£> 
gleich Eins ist, ergibt sich also, daß die positive Tangente des 
Kurvenpunktes M die Eichtungskosinus hat: 
x 
z 
V*'*+ z' 1 ' 
wobei die Quadratwurzel positiv ist. 
Es ist aus der analytischen Geometrie bekannt und übri 
gens leicht einzusehen, daß der Kosinus des Winkels, den zwei