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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
253. Tangentenebene und Normale einer Fläche. 
Nach Nr. 251 sei eine Fläche durch eine Gleichung 
F(x, y,z) = 0 
(1) 
definiert. Wir setzen voraus, daß die Funktion F für einen 
gewissen Variabilitätsbereich von x, y, z nebst allen ihren Ab 
leitungen, soweit sie in der Folge Vorkommen werden, stetig sei, 
und daß die Gleichung F = 0 innerhalb dieses Variabilitäts 
bereiches z als eine Funktion von x und y definiere, die nebst 
allen ihren Ableitungen, soweit sie in der Folge Vorkommen, stetig 
ist. Alsdann ergeben sich z. B. die Ableitungen von z nach x 
und y aus den Formeln: 
(2) 
die hinfällig werden, wenn F x , F y , F z alle drei gleich Null 
sind. Die gemachten Voraussetzungen werden also gewiß nicht 
erfüllt für Wertetripel x, y, z, für die F x , F, F. alle drei 
verschwinden. Wir schließen daher durch unsere Annahmen 
derartige singuläre Punkte (x, y, z) aus, die wir überhaupt nicht 
zu untersuchen beabsichtigen. 
Wenn nun 
* = f( x , V) 
(3) 
die durch (1) definierte Funktion z von x und y bedeutet, 
liegt hierin eine besondere Darstellung einer Fläche vor (vgl. 
Nr. 251), und wir wollen zunächst von dieser Darstellung aus 
gehen. Ein bestimmtes WArtepaar der beiden unabhängigen 
Veränderlichen x, y sei gewählt und z aus (3) bestimmt 
worden, wodurch ein Punkt M oder (x, y, z) der Fläche ge 
wonnen wird. Nun gibt es unzählig viele Kurven auf der Fläche, 
die durch diesen Punkt gehen. Wird nämlich y durch irgend 
eine differenzierbare Funktion von x ersetzt, die für den be 
trachteten Wert von x gerade den angenommenen Wert hat, 
so wird nach (3) auch z eine differenzierbare Funktion von 
x, die für den betrachteten Wert von x gerade den vorhin 
bestimmten Wert hat. Jetzt sind daher y und z Funktionen von 
x, die eine durch M gehende Kurve auf der Fläche definieren. 
Nach (6) in voriger Nummer sind