§ 1. Tangenten und Normalen 
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9; b) ~ F(x, y, d) = sVFl 4- Fl + Fg -j- R. 
Also ist diese Differenz bei hinreichend kleinem s positiv, 
wenn die Quadratwurzel nach Vorschrift positiv gewählt wird. 
Die Festsetzung über den positiven Sinn der Normale bedeutet 
also geometrisch: Sind x, y, z die Koordinaten eines Punktes 
der Fläche, so ist F(x, y, d) = 0; liegt der Punkt jedoch auf 
der einen oder andern Seite der Fläche hinreichend nahe, so 
ist F entweder positiv oder negativ. Nennen wir diejenige 
Seite, auf der F > 0 ist, die Außenseite der Fläche, so haben 
wir die Normale positiv nach der Außenseite hin angenommen. 
Von der allgemeinen Darstellung F= 0 kehren wir zur 
Darstellung 
(9) 
s = f(x,y) 
der Fläche zurück, indem wir einfach F = 0 durch z — f = 0, 
d. h. F durch z — f ersetzen. Außenseite ist alsdann diejenige, 
auf der z > f ist. Jetzt wird F x = — f x , F y = — f } und F z = 1, 
und wie in Nr. 85 wollen wir cz : cx = f x und dz : < y = f y mit 
p und q bezeichnen. Nach (8) sind alsdann die Richtungs 
kosinus der positiven Normale der Fläche (9): 
wobei die Quadratwurzel positiv ist. Ferner hat nach (5) die 
Tangentenebene der Fläche (9) in den laufenden Koordinaten 
£, 5 die Gleichung: 
(ä - *) — x) — 2(9 - ?/) = 0, 
(11) 
während die Normale nach (7) die Gleichungen hat: 
(i2) ^ = ^ = 
Sie traten schon in Nr. 162 unter (4) in den laufenden Koor 
dinaten a, b, c auf. 
254. Nochmals die Tangente und Normalebene 
einer Kurve. In Nr. 252 haben wir den Fall, in dem eine 
Kurve in der Form 
F(x, i/, z) = 0, G(x, y, z) - 0, 
(1) 
also nach Nr. 251 als Schnittkurve der beiden Flächen F = 0 
und G = 0 dargestellt wird, vorläufig beiseite gelassen. Die