§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
427 
k'liej 
**•!■* 
>n H ' 
* b,1(i «t Eit. 
e ' P>«*e«il| 
‘mpf «b, dessen 
°* örundfläcEe 
omi 
1 einer 
^ ito Länge 
J n von Kreisen 
8 Zentri- 
8 anIJt mc 
'in 9Jt bilden 
'fl Grenzwerte 
iind, and & 
dessen Grenz- 
Kante Jr des 
Vinkel, deren 
ias Verhältnis 
im Grenznber- 
»enfella gleich 
lagonale eines 
nd rsinßJt, 
ratangente 
i 
•ntangente,» 
n die Abente 
! inKigen: 
erentiaJe k 
n. Xid (4) 
Wird die Bogenlänge s selbst als unabhängige Veränderliche 
gewählt, so ist die Kurve positiv im Sinne wachsender Werte 
von S] die Richtungskosinus der Tangente sind alsdann die Ab 
leitungen der Koordinaten x, y, z nach der Bogenlänge s. 
Fig. 59. 
$ 3. Krümmung einer Raumkurve. 
260. Das Krümmungsmaß der Kurve. Den Anfangs 
punkt 0 wählen wir als Mittelpunkt einer Kugel mit dem 
Radius Eins, siehe Fig. 59. Wir ziehen parallel zu jeder Tan 
gente einer vorgelegten Raumkurve den Radius von 0 aus und 
zwar entsprechend dem positiven Sinne der Tangente. So ge 
hört zum Kurvenpunkte M ein Radius OM, zum Kurvenpunkte 
M' ein Radius OM'. Dem Kur 
venbogen MM’ entspricht ein 
sphärischer Kurvenbogen MM'; 
er ist ein Stück der sogenannten 
sphärischen Indikatrix der Tan 
genten der Raumkurve. Diese 
Indikatrix wird im entsprechen 
den Sinne positiv gerechnet, d. h. wenn die Raumkurve von M 
nach M' im festgesetzten positiven Sinne durchlaufen wird, 
soll der Fortschreitungssinn auf der Indikatrix von M nach M' 
positiv angenommen werden. Das Verhältnis des Bogens MM' 
der Indikatrix zum Bogen MM' der Raumkurve heißt die mitt 
lere oder durchschnittliche Krümmung des Kurvenbogens MM'. 
Sie ist nach unseren Festsetzungen stets positiv. Wenn As 
und Aa die Längen der Bogenstücke MM’ und MM' sind, 
stellt AG: As die mittlere Krümmung dar. 
Wenn M’ immer näher an M heranrückt, kommt auch 
M' immer näher an M heran. Wir werden sogleich zeigen, 
daß das Verhältnis AG: As für lim As = 0 einen bestimmten 
endlichen Grenzwert hat. Er heißt das Krümmungsmaß oder 
die Krümmung der Raumkurve an der Stelle M. Das Bogen 
differential da der Indikatrix wird der Kontingenzwinkel der 
Raum kurve genannt. 
Für den Fall, daß die Kurve eben ist und in der xy-Ebene 
liegt, kommen diese Definitionen auf die in Nr. 195 zurück, 
[»59, »(50