§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
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fanden; k 
^mknrre % 
*® foll, il 
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wobei die Wurzel positiv ist und die Akzente die Differentia 
tion nach t andeuten. Nach (3) in Nr. 252 ist aber: 
/g\ c / *" x'{x'x"-\-y'y"-\- Z'Z") 
}/x 2 Ay s + z' 2 yV s -f y' 2 -j-z'- 3 ’ 
und entsprechende Werte gehen für ß' und y hervor. Aus 
ihnen folgt: 
srtes **‘A m ' 
Starre diircii 
,-jn /2. ß'2 1 y '2 (x" S +y" 2 +z" 2 )(x' 2 +y' i +z' ,l ) — (xx"+yy"+Z , z") i! 
\ J ~rP rf ' (aj'*4- y'*-}- z>i Y 
Die Substitution von (4) in (2) gibt schließlich: 
n <üe Punkte J 
«Weite von JI 
ivoordinaten toi 
/k\ 7. da ]/(x"' i -\ r y'' ii +z" 2 )(x' 2 -\-y i +z' 2 ) — (x , x"+y'y"-\-z'z'y 
K) ds > / a /«+yi + Ä 'i» 
wo die Wurzeln positiv sind. Der Radikand im Zähler läßt 
sich noch nach der in Nr. 254 angegebenen Identität (5) um- 
‘ (VgL Sr.Ä) 
V dj waci- 
k 
formen, so daß hervorgeht: 
/ fi N 7 da Viy'z" — z’y'Y-(- (z'x" — x'z') % + (xy" — ijx’Y 
W ds y x -* +lJ '* +3 '*s 
w 
wo die Wurzeln positiv sind. Dabei ist vorausgesetzt worden, 
daß (p, %, ij; und a, ß, y stetige Funktionen mit stetigen ersten 
r.257 enänk 
, den Grazien 
t i Jt stetige 
’IniiDg sind Da 
¡wert des ersten 
ich Eins, tills 
’¡iesen Vorans- 
Ableitungen seien. Nach (3) ist dies der Fall, wenn x, y, z 
nebst ihren Ableitungen erster und zweiter Ordnung an der Stelle t 
stetige Funktionen von t sind, aber ihre Ableitungen erster Ord 
nung nicht alle drei zugleich verschwinden (vgl. hierzu Nr. 252). 
Der reziproke Wert der Krümmung k, also die stets po 
sitive Größe jR = 1 : k, heißt der Krümmungsradius der Kurve 
an der betrachteten Stelle. Wir werden später sehen, daß es 
wie bei den ebenen Kurven (vgl. Nr. 197) einen Krümmungs- 
iranmng: 
kreis gibt, dessen Radius den Wert B hat. Es kommt: 
Langen: 
'+# 
(7) B _ „ __ l/x '* + y '* + 2 * 3 
V(y' z " — zy"Y -j- (z'x' — X z-f- {x y" — y'x ) 2 
Der Krümmungsradius B ist endlich, wenn an der be 
trachteten Stelle nicht alle dcei Größen 
kommt: 
(8) y z — z y , z x — X z , x y — y X 
gleich Null sind. 
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