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Kap. IX. Theorie der Raumkurveu und Flächen 
ist insbesondere die Bogenlänge s die unabhängige Ver 
änderliche, so sind a, ß, y nach (1) in Nr. 259 gleich x, y, z, 
daher a, ß', y' gleich x", y", z", so daß der Wert (4) einfach 
x"* -j- y" 2 -|- /' 2 wird. Alsdann ergibt sich mithin: 
(9) k - ^ - Vx-’+tn+*"‘ " * 
11 = 
Vx"'+y” i +z" i 
wobei die Quadratwurzel positiv ist. 
261. Hauptnormale einer Kurve. Die sphärische in- 
dikatrix der Tangenten, siehe Fig. 59 auf S. 427, hat in dem 
zum Kurvenpunkte M gehörigen Punkte M eine Tangente, 
deren positiver Sinn dem Fortschreitungssinne der Indikatrix 
entsprechend anzunehmen ist. Der Strahl vom Kurvenpunkte 
M aus parallel zu dieser positiven Tangente der Indikatrix, 
der augenscheinlich zu den Normalen des Punktes M gehört, 
heißt die positive Hauptnormale von M. Ihre Richtungskosi 
nus wollen wir mit l, m, n bezeichnen. Sie sind zugleich die 
Richtungskosinus der positiven Tangente des Punktes M der 
Indikatrix. Da 6 die Bogenlänge der Indikatrix ist und 
a, ß, y die Koordinaten von M sind, werden l, m, n entspre 
chend den Formeln (1) in Nr. 259 gegeben durch: 
(1) 
1 da 
1 = Jo’ 
m 
dß 
da 
n = 
dy 
da 
Weil der Krümmungsradius R = ds : d 0 ist, folgt hieraus: 
l = R 
m = R~ 
ds ’ 
R 
dy 
ds 
(2) — ¡s. 
Nach (1) in Nr. 259 ist mithin auch: 
(3) 1-ag, >»-<?, — 
Wir erwähnen noch die hieraus folgenden Formeln: 
(4) 
d*x 
ds* 
d-y 
m 
B 
d*z 
ds i 
n 
72 
Um l, m, n auch mittels einer beliebigen unabhängigen 
Veränderlichen t auszudrücken, schreiben wir statt (2): 
(5) 
7 -v~\ d cc ds 
i - R dt : dt ,,sw - 
und setzen darin für R und da : dt oder u die Werte (7) und (3) 
860, 861]