§ .4. Krümmung einer Raumkurve 
435 
Durch zyklische Vertauschung der drei Zeilen der Tafel finden 
wir hieraus noch die Gleichungen: 
(7) a = mv — ng, ß = nl — Iv, y = lg — m X; 
(8) l = ily — yß, m = va — Xy, n = Xß — gcc. 
Vermöge (6) sind wir nun imstande, die Uichtungskosinus 
X, g, v der Binormale zu berechnen. Setzen wir nämlich darin 
die Werte von cc, ß, y aus (3) in Nr. 252 und die von l, m, n 
aus (6) in Nr. 2(51 ein, so kommt: 
y'z" — e‘ y" 
(9) A- 
V(y' z " — z'y"y-\-(z'x'—xz") 2 +(x'y" — yx") 
und entsprechende Formeln gehen für g und v durch zyklische 
Vertauschung von x, y, z hervor. Dabei kann die unabhängige 
Veränderliche irgendeine Hilfsgröße t sein; die Quadratwurzel 
ist positiv. 1 ) 
Wenn insbesondere die Bogenlänge s die unabhängige Ver 
änderliche ist, folgt aus (6) nach (1) in Nr. 259 und nach 
(3) in Nr. 261: 
(10) 
und durch zyklische Vertauschung von x, y, z ergeben sich 
hieraus auch die Werte von g und v. 
265. Differenz zwischen Kurvenhogen und Sehne. 
Einen bemerkenswerten Ausdruck für die Differenz zwischen 
einem Kurvenbogen und seiner Sehne erhält man, wenn man 
die Krümmungsradien in den Endpunkten des Bogens einführt. 
Zunächst stellen wir einige Formeln auf für den Fall, wo die 
Bogenlänge s als unabhängige Veränderliche gewählt worden 
ist, nach der differenziert wird. Nach (4) in Nr. 257 und 
nach (9) in Nr. 260 kommt nämlich dann: 
Differentiation dieser Gleichungen nach s gibt: 
/ c\\ f rr I / // . r tr r\ // fff I ff fff I ff f fr 
(2) xx -\-yy-\-zz= 0, xx + V y + z z 
1) Ist x die unabhängige Veränderliche, so verhalten sich X, g, v 
zueinander wie y'z" — z y", —z" und y'\ woraus die in der dritten 
Anmerkung zu S. 248 aufgestellte Behauptung folgt.