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Kap. IX. Theorie der liaumkurveu und Flächen 
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Differenzieren wir die erste Gleichung (2) noch einmal, 
so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (1): 
(3) xx" + yy" + z'z" = — , 
und abermalige Differentiation dieser Gleichung gibt wegen 
der zweiten Gleichung (2): 
d w 
(4) xx 1Y + yy 1Y + z'z XY = — f • 
Sind nun Ax, z1y, Az diejenigen Zunahmen von x, y, z, 
die zur Zunahme As von s gehören, und haben x, y, z in dem 
Intervalle von s bis s + As nebst ihren Ableitungen nach s 
bis zur fünften Ordnung bestimmte endliche Werte, so ist 
nach Satz 19 von Nr. 112: 
— = x + \x"As + -J ¿"As* 4- ^x^As 3 4- £, 
-J- S = y + \y"Js + + ¿ji 1T ^s 3 + Tj, 
~ + t, 
wobei £,r] f £ mit As in der vierten Ordnung gleich Null 
werden. Quadrieren und Addieren gibt mit Rücksicht auf 
(1), (2), (3) und (4): 
Ax* 4- Ay* + Az i 
As~ 
- = 1 “ L- • - ds ~ 4 s3 + <4 
wobei s mit As in der vierten Ordnung gleich Null wird. 
Da das Quadrat von 
— . — As 2 
24 ^ ö 
48 
Bf 
ds 
As 3 
bis zur dritten Potenz von As dieselbe Form wie die rechte 
Seite der letzten Gleichung hat, wird daher: 
yAx* 4- Jy* 4- JA 
As 
= 1 — A . _ A _ a 8 i _ J 
24 B* 48 
-ß* 
ds 
A s 3 4" ®) 
wobei die Wurzel positiv ist und co mit As in der vierten 
Ordnung gleich Null wird. Die Wurzel stellt den absoluten 
Betrag $ der zum Bogen As gehörigen Sehne dar, so daß sich 
ergibt: