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Кар. ]Х. Theorie der JRaumkurven und Fliichcn 
ebene den Fußpunkt Q. Wir sagen nun, daß die l\une die 
Fläche in M insbesondere in der, r°' n Ordnuni) berührt, wenn 
0) 
.. 31,'M' 
hm r , , 
мч = о MQ r+l 
endlich und von Null verschieden ist. 
Um diese Definition analytisch zu formulieren, wollen wir 
annehmen, die Fläche sei durch die Gleichung 
(2) F(x, y,z) = 0 
gegeben. Die Richtungskosinus der Normale des Flächenpunktes 
71/ oder (x, y, z) bezeichnen wir wie in Nr. 253 mit X, Y, Z, 
so daß 
(S) X( S -x)+ Г(9 - у) + Z(i - г) = О 
in den laufenden Koordinaten £, tj, 5 die Tangentenebene des 
Punktes darstellt. Die Kurve sei mittels einer Hilfsveränder 
lichen t gegeben: 
(4) x = ip(t), у = x(t), z = ip(t). 
Für einen gewissen Wert t sollen also diese Funktionen die 
Koordinaten des Punktes 71/ sein. Zum Werte t F Nt ge 
höre der Punkt M' oder (x -f- Nx, у -j- Ny, z F Nz) der Kurve. 
Der Fußpunkt Q des Lotes von ihm auf die Tangentenehene 
von 71/ habe die Koordinaten |, y, £. Alsdann ist nach (3): 
X(i - x) + Y(y -y)F Z(£ --*) = 0, 
während | — (x -f- Nx), y — (y -f Ny), t, — (zF Nz) zu den Rich 
tungskosinus X, Y, Z proportional sind, so daß wir mit Ililfe 
einer Größe u schreiben können: 
| = x -f- Nx + uX, rj = y + Ny -j- uYj £ = z -f Nz -f- uZ. 
Setzen wir diese Werte in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich, 
da X*+Y* + Z* = 1 ist: 
u = — (XNx -f YNy F ZNz). 
Das Quadrat der Strecke 71/Q ist gleich der Summe der Qua 
drate von | — x, y — y und £ — z, d. h.: 
71/Q 2 = (Nx + uX) 2 -f- (Ny -f u Y) 2 F (Nz F uZf 
= Nx 2 F Ny 3 F Nz 3 + 2u(XNx F YNy F ZNz) F 
oder, wenn der für u gefundene Wert eingesetzt wird: 
(5) 71/Q 2 = (YNz — ZNy) 2 -f- (ZNx — XNz) 2 -j- (XNy — YNx)~.