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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
drei gleich Null sind, d. h. M ein singulärer Punkt der 
Kurve ist (was wir ausschließen), oder, wenn cp', if>' pro 
portional zu X, Y, Z sind, was aber nicht eintritt, weil cp', i, cp' 
proportional zu den Richtungskosinus der Kurventangente sind, 
die auf der Flächennormale senkrecht steht. Also folgt aus (5), 
daß MQ mit Zt in der ersten und nicht in höherer Ordnung 
verschwindet. Nach (1) tritt demnach eine Berührung in gerade 
r ,er Ordnung ein, wenn M^M' mit Zt gerade in der (r -f l) fe " 
Ordnung verschwindet. 
Wir haben hiernach den Ausdruck für A//3/' zu be 
trachten, der nach (8) gleich v ist. Dabei wird v durch die 
Bedingung (7) bestimmt. Wir wollen darin vorläufig x -(- Zx, 
y -f- Zy, z -f- Z z, d. h. die Koordinaten des Kurvenpunktes M', 
mit £, tj, l bezeichnen, so daß wir statt (7) haben: 
(9) F(jc + vX, X) -\- vY, § + #/£) = 0. 
Nehmen wir nun an, daß die Funktion F(x, y, z) nebst ihren 
partiellen Ableitungen erster Ordnung in einer Umgehung des 
Wertsystems x, y, z stetig sei, so läßt sich, wenn (j, 1), $) 
und (g -f- vX, -p v Y } l + vZ) in dieser Umgebung liegen, 
die letzte Gleichung nach Satz 28 von Nr. 137 so schreiben: 
0 = F(i, t), i) + v\XFi + YF n + ZF h ] i+e9Xt i+e , r> i+8eZ . 
Dabei bedeuten F lf FF h in der Klammer die partiellen Ab 
leitungen von F(i, i, l)) für den Fall, daß g durch g -f- 6vX 
usw. ersetzt wird. Ferner ist 6 ein positiver echter Bruch. 
Beim Grenzübergange lim Zt = 0, d. h. lim v = 0 folgt, daß 
F(%, D, j) gerade in erster Ordnung mit v verschwindet, falls 
XF^ -f YFq -f ZF i endlich und von Null verschieden ist. 
Daß diese Summe in der Tat nicht verschwindet und endlich 
ist, folgt aber so: Beim Grenzübergange lim ¿Jt = 0 gehen 
£> t), 3 oder x -j- Zx usw. in x, y, z über, so daß jene Summe 
dann gleich XF x + YF y + ZF t oder nach (8) in Nr. 253 
gleich der Quadratwurzel aus FJ + F y ~ -f F* wird, die nicht 
verschwindet, wenn der Punkt M oder (x, y, z) der Fläche, 
wie wir voraussetzen, nicht singulär ist, also F x , F yt und F % 
nicht alle drei gleich Null sind. Wir haben also erkannt, daß 
F{x + Zx, y + Zy, z -f Je) 
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