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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
Die in voriger Nummer a genannte Größe ist nach den dort ge- 
gefundenen Gleichungen (4) und (6) gleich B: T, so daß die Glei 
chungen (3) von Nr. 271 geben: 
d v 
ds 
dl 
ds 
n 
(i m 
(2) 
T’ ds T’ 
T 
Aus (8) in Nr. 264 folgen nach (1) und (2) sofort durch Dif 
ferentiation die Werte der Ableitungen von 1, m, n nach s, aus 
gedrückt durch a, ß, y, X, i, v, B und T. Wegen (6) und (7) 
in Nr. 264 ergeben sie: 
X dm ß p dn y 
(U 
ds 
v 
a 
(3) 
T 
T’ ds R T’ ds R 
R 
Da nach Nr. 260 der Kontingenzwinkel de = ds : B und nach 
Nr. 271 der Torsionswinkel dr = ds:T ist, lassen sich die 
Frenetschen Formeln (1), (2) und (3) auch so schreiben: 
(6) dl = — adG — Xdr, dm = — ßdö—gdr, dn = — yde—vdx. 
273. Vorzeichen der Torsion. Um zu beweisen, daß 
das in der Formel (5) von Nr. 271 gewählte Vorzeichen der Tor 
sion richtig ist, und zu sehen, wie es die Kurve kennzeichnet, 
wählen wir einen Kurvenpunkt il/ 0 als Anfangspunkt und sein 
begleitendes Dreikant als das Achsenkreuz, so daß für den Punkt 
M 0 insbesondere die Richtungskosinus a 0 , m Q , v 0 gleich Eins, da 
gegen alle anderen Richtungskosinus gleich Null sind. Nach (1) 
in Nr. 259 und nach (4) in Nr. 261 ist dann, wenn der Ak 
zent die Differentiation nach der Bogenlänge bedeutet, an der 
Stelle il/ 0 : 
Nach der Formel (6) von Nr. 271 ist ferner ebenda: 
l 
Sind nun für die Kurvenpunkte in einer Umgebung von M Q 
die Ableitungen von x, y, z bis zur dritten Ordnung stetige 
Funktionen der Bogenlänge s, so können wir x, y, z für eine 
£72, 373]