§ 4. Torsion einer Raumkurve 
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275. Kurven von der Torsion Null. Wählen wir x 
als unabhängige Veränderliche, so ist x = 1, x" = 0, x" = 0. 
Die letzte Formel zeigt also, daß die Torsion längs der ganzen 
Kurve gleich Null ist, sobald bei dieser Annahme die Differenz 
y"z" — z'y"", d. h. die Ableitung von z" : y" nach x gleich 
Null, daher z" : y" konstant, etwa gleich B, mithin z" — By" 
gleich Null ist. Dann aber ist z — By' konstant, etwa gleich A, 
also auch z — By — A gleich Null, d. h. z — By — Ax eben 
falls konstant, mithin schließlich: 
z — A x -f- By -f- G, 
wo auch C eine Konstante bedeutet. Hier aber liegt die Glei 
chung einer Ebene vor, die Kurve ist demnach eben. Diese 
Schlußfolgerung versagt, wenn x längs der Kurve konstant ist; 
dann liegt die Kurve in einer Ebene x = konst. 
Umgekehrt: Liegt eine Raumkurve in einer Ebene 
Ax + By -f Gz -j- D = 0, 
so gibt die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen t: 
Ax'+By'+Cz'=0, Ax"ABy"ACz"=0, Ax"'+By'"+Cz"= 0, 
d. h. 1 : T = 0 nach der Formel (2) der letzten Nummer. Also: 
Satz 6: Diejenigen Kurven, die über all die Torsion Null 
haben, sind die ebenen Kurven. 
Dies sind die einzigen Kurven, bei denen alle Schmie 
gungsebenen dieselbe Stellung haben und also in eine Ebene, 
die der Kurve, zusammenfallen. Die nicht ebenen Kurven 
heißen auch Kurven doppelter Krümmung, indem man ihre 
Torsion als ihre zweite Krümmung bezeichnet. 
Aus unseren Betrachtungen folgt noch ein rein analyti 
sches Ergebnis: Die in der Formel (2) der vorigen Nummer 
auftretende Determinante ist hiernach dann und nur dann 
gleich Null, wenn zwischen x, y, z eine lineare Gleichung mit 
konstanten Koeffizienten besteht. Also allgemein: 
Satz 7: Sind x, y, z drei Funktionen von einer Verän 
derlichen, so ist die Determinante oms den Ableitungen erster 
Ordnung x, y, z, aus den Ableitungen zweiter Ordnung x", y", z" 
und aus den Ableitungen dritter Ordnung x", y", z" nur dann 
gleich Null, wenn zwischen x, y, z eine lineare Gleichung