§ 4. Torsion einer Raumkurve 
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durch Auflösen dieser Gleichungen ergibt: 
(4) x — x = — TR?(vfz'" — zy") usw. 
Nach (4) in Nr. 261 ist nun x'—l: R, daher x"= V: R — IR': R 2 , 
also nach (3) in Nr. 272: 
„, a X IR' 
X = ps ~~ ~ B j • 
Entsprechende Werte gehen für y'", z" hervor, so daß sich 
aus (4) mit Rücksicht auf (1) in Nr. 259, (8) und (6) in 
Nr. 264 die Koordinaten des Mittelpunktes der Schmiegungskugel 
ergeben 1 ): 
(5) x=x+lR— XR'T, y=y-\-mR—gR'T, z=**z-\-nR—vR'T. 
R' ist dabei die Ableitung von R nach der Bogenlänge. Nach 
(1) ist ferner das Quadrat des Radius 91 der Schmiegungskugel: 
91 2 = _ XR'T) 2 + (mR - gR’T) 2 + (nR - vR'T) 2 , 
woraus wegen der bekannten Beziehungen zwischen den Rich 
tungskosinus l, m, n, und X, g, v durch Ausquadrieren folgt: 
(6) 91 2 = R 2 + R' 2 T 2 . 
Nach Nr. 263 geht die Krümmungsachse des Kurvenpunk 
tes M durch den Krümmungsmittelpunkt, dessen Koordinaten 
x -{-IR, y + mR, z -f nR sind. Außerdem ist sie zur Bi- 
normale parallel, deren Richtungskosinus 1, g, v sind. Nach 
(5) liegt daher der Mittelpunkt der Schmiegungskugel auf der 
Krümmungsachse und zivar in der Entfernung — R'T vom 
Krümmungsmittelpunkte, wobei diese Entfernung positiv ge 
rechnet wird, sobald die Richtung vom Krümmungsmittelpunkte 
zum Kugelmittelpunkte mit der positiven Richtung der Bi- 
normale übereinstimmt. Da der Krümmungsmittelpunkt vom 
Kurvenpunkte die Entfernung R hat, lehrt (6): 
Satz 8: Der Krümmungskreis eines Kurvenpunktes ist der 
Kreis, in dem die Schmiegungsebene die Schmiegungskugel schneidet. 
Wenn — was wir oben ausschlossen — die Torsion des 
Kurvenpunktes M gleich Null ist, versagen die Gleichungen 
(2) und (3) für die Berechnung von x — x, y — y, z — z. Es 
ist leicht zu zeigen, daß dann die Schmiegungskugel in die 
Schmiegungsebene ausartet. 
1) Wird x als unabhängige Veränderliche gewählt, so erkennt man 
leicht die Richtigkeit der Anmerkung zu S. 250. 
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