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Kap. IX. Theorie der llauinkurven und Flächen
konstanten Koeffizienten besteht, aus der durch Differentiation
nach a eine Gleichung
Au + Bv -J- Ctv = 0
folgt, in der A, B, C nicht sämtlich verschwindende Konstanten
sind. Weil aber u, v, w zu den Richtungskosinus der Normale
der Ebene (1) proportional sind, bedeutet dies, daß dann alle
Ebenen der gegebenen Schar dieselbe Richtung enthalten, näm
lich diejenige, deren Kosinus zu A, B, C proportional sind.
Eine derartige Ebenenschar umhüllt einen Zylinder, dessen
Mantellinien jene feste Richtung haben und die Charakteristiken
vorstellen. Eine Gratlinie ist dann nicht mehr vorhanden.
Die Auflösung der Gleichungen (1), (2), (3) nach x, y, z
kann übrigens unter Umständen für x, y, z von a freie, also
konstante Werte ergeben. Dann gehen alle Ebenen (1) durch
einen und denselben festen Punkt; sie umhüllen einen Kegel,
der diesen Punkt zur Spitze hat, und die Mantellinien des
Kegels sind die Charakteristiken. Statt der Gratlinie tritt jetzt
ein Punkt, die Kegelspitze, auf. Wenn dagegen alle Ebenen
(1) eine feste Gerade enthalten, liegt ein Ebenenbüschel vor,
und der Kegel artet in die Gerade aus.
Satz 12: Die Ebenen einer Schar
u(a)x + v(a)y -f- w(a)z + ra(a) = 0,
die nicht sämtlich einen Punkt gemein haben und auch nicht
sämtlich eine feste Richtung enthalten, umhüllen die Tangenten
fläche einer Kurve und sind die Schmiegungsebenen der Kurve.
Die Kurve selbst ist die Gratlinie der Tangentenfläche.
282. Die TangentenfLächen als abwickelbare Flä
chen. Die Koordinaten der Punkte M oder (x, y, z) einer
Kurve seien als Punktionen der Bogenlänge s gegeben:
(1) x*=<p(s), f/ = %(s), z = il>(s).
Ferner sei M L derjenige Punkt auf der Tangente von M, der
von M eine gewisse Entfernung t hat, wobei t = MM X positiv
im Sinne der positiven Tangente gerechnet werden soll. Da
a = x, ß = y, y = z die Richtungskosinus der positiven Tan
gente sind, hat M t die Koordinaten:
(2) x x = x + xt, y x = y + yt, z y = z + zt,
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