§ 7. Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven und Flächen 487 
wert hat. In Nr. 214 gingen wir bei der Betrachtung der Be 
rührung höherer Ordnung zwischen ebenen Kurven von diesem 
Grenzwerte aus und zeigten dann, daß auch der zu Anfang der 
jetzigen Nummer aufgestellte Grenzwert endlich und von Null 
verschieden ist. Hier haben wir den umgekehrten Weg ein 
geschlagen, wodurch die damaligen Betrachtungen in einem 
wesentlichen Punkte vervollständigt werden. 
Aus dem Satze 18 und aus Nr. 214 folgt noch: 
Satz 19: Berühren zwei Kurven einander gerade in der 
r ten Ordnung und ist die gemeinsame Tangente nicht senkrecht 
zur x-Achse, so berühren auch die Projektionen beider Kurven 
auf die xy-Ebene und ebenso ihre Projektionen auf die xz-Ebene 
einander in mindestens r ter Ordnung, und eine dieser beiden Be 
rührungen ist dabei von gerade r ter Ordnung. 
299. Oskulierende Kurven. Liegt außer einer Kurve 
(1) y — f(x), z = g(x) 
eine Kurvenschar 
(2) y = F(x, a 1} a 2 .. . a n ), z = G{x, a t , a 2 ,... a n ) 
mit n willkürlichen Konstanten a x , a 2 , ... a n vor, so kann man 
nach derjenigen Kurve der Schar fragen, die mit der gegebenen 
Kurve (1) an einer bestimmten Stelle x eine Berührung in 
möglichst hoher Ordnung eingeht. Da Satz 18 der vorigen 
Nummer zu 2(r -j- 1) Bedingungen für eine Berührung in der 
r tou Ordnung führt, kann man im allgemeinen erwarten, daß 
sie soll durch passende Wahl von a x , a 2 ,. . . a n erfüllen lassen, 
wenn n 2 (r + 1) ist. Es ist jedoch möglich, daß einige 
Konstaiten noch ganz willkürlich bleiben, so daß es in der 
Schar (i) nicht eine einzige, sondern unzählig viele Kurven gibt, 
die mit der Kurve (1) an der vorgeschriebenen Stelle eine 
Berührung in derselben höchsten möglichen Ordnung eingehen- 
Diese Kursen heißen die dort oskulierenden Kurven der Schar. 
300. ier Krümmungskreis als oskulierender Kreis. 
Die Gleichungen eines beliebigen Kreises im Raume enthalten 
die Koordinaen des Mittelpunktes, den Radius und die Rich 
tungskosinus «er Senkrechten zur Kreisebene. Da die Summe 
der Quadrate c» r Richtungskosinus gleich Eins ist, sind nur 
zwei von den dei Kosinus beliebig wählbar. Demnach treten 
[398, 399, 300