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Kap. IX. Theorie der Kaumkurven und Flächen 
301, 302] 
Satz 21: Wenn zwei Flächen 
z = fix, y) und z = F(x, y) 
einander in einem Punkte berühren, ist die Berührung von 
gerade r ter Ordnung, wenn für die zugehörigen Werte von x 
und y die Funktion f(x, y) nebst allen ihren partiellen Ablei 
tungen bis zur r ten Ordnung mit der Funktion F (x, y) nebst 
ihren entsprechenden partiellen Ableitungen bis zur r ten Ordnung 
übereinstimmt, während diese Uereinstimmung nicht mehr bei 
allen Ableitungen von der (r -f- l) ten Ordnung besteht. Dabei 
ivird vorausgesetzt, daß die Funktionen f und F nebst allen Ab 
leitungen bis zur (r -f- l) ten Ordnung in der Umgebung der be 
trachteten Werte x und y stetig seien. 
Insgesamt ergeben sich £(r + 1) (p + 2) Bedingungen, da 
eine Funktion von zwei Veränderlichen k -f- 1 partielle Ablei 
tungen von k ter Ordnung hat. 
302. Oskulierende Flächen. Liegt außer einer be 
stimmten Fläche z = f(x, y) eine Flächenschar 
z = F0, y, a x , a 2 ,... a n ) 
mit n willkürlichen Konstanten a lf a 2 , . . . a H vor, so kann 
man nach denjenigen Flächen der Schar fragen, die mit der 
gegebenen Fläche in einem gegebenen Punkte eine Berührung 
in möglichst hoher Ordnung eingehen. Sie heißen die eska 
lierenden Flächen. Da wir zu (r -f 1) (r -f 2) Bedingungen 
für eine Berührung von r ter Ordnung gelangten, ist im allge 
meinen zu erwarten, daß sich oskulierende Flächen mit einer 
Berührung in r ter Ordnung ergeben werden, wenn die Zahl n 
der willkürlichen Konstanten mindestens gleich + l)(r + 2) 
ist. Dabei können jedoch mehrere Konstanten willkürlich blei 
ben, so daß eine Schar von in derselben höchsten Ordnung osku- 
lierenden Flächen hervorgeht. Wenn die Flächenschar z. B. die 
aller Kugeln ist, enthält ihre Gleichung vier wesentliche Kon 
stanten. Die Bedingung -£(»• -f 1) (r + 2) ^ 4 gibt hier r = 1. 
In der Tat gibt es, wie man zeigen könnte, unter allen Ku 
geln, die eine Fläche an einer Stelle berühren, im allgemeinen 
keine, die in höherer als erster Ordnung berührt.