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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
Indikatrix der Tangenten der Kurve. Dann ist Rdö das Bogen 
element der Flächenkurve, so daß nach (1) in Nr. 259 und 
nach (4) in Nr. 272 kommt: 
(1) 
dx T) 
-i— = Ra, 
da ’ 
dy 
da 
= Rß, 
dz 
da 
(2) 
da j 
dY = 
dß _ 
da 
= m, 
dy' 
da 
Sind ferner X, Y, Z die Richtungskosinus der positiven Flächen 
normale von M, so wird nach (10) in Nr. 253: 
/ y __ P y 4 X — - 
Vp' + Y + i’ vV 4 2* + i ’ Vp~ + 3* +1 ’ 
ivobei die Wurzel positiv ist. Als Kosinus des Winkels ß zwi 
schen der positiven Flächennormale und der Hauptnormale von 
M ergibt sich nach (2) und (3): 
(4) cos e=XI + Yml Z»= ßjf-ptg - g II) : IV+ «*+1. 
Werden die Werte von dx, dy, dz aus (1) in die Formeln 
(1) der vorigen Nummer eingesetzt, so kommt: 
V = P K + aß} ff = R(ra + sß), ff = B(sa + tß). 
Differentiation der ersten Gleichung nach <? gibt mit Rücksicht 
auf die beiden letzten: 
dy da 
!ä ~ P 'da 
— = R(ra 2 
* da v 
+ 2saß -f tß-). 
Wird dies in (4) eingesetzt, so geht hervor: 
(5) 
Vp~ + <f +1 
Ca 8 -J- 2saß -|- tß* 
cos 0. 
Diese Formel drückt den Krümmungsradius der Flächen 
kurve in M erstens durch die Größen p, q, r, s, £ aus, die 
sich nur auf die Fläche beziehen, zweitens durch die beiden 
ersten Richtungskosinus a, ß der Kurventangente und drittens 
durch den Kosinus des Winkels 0 zwischen der Flächennor 
male und der Hauptnormale der Kurve in M. Da der Krüm 
mungsradius nach Nr. 260 stets positiv ist, sehen wir: 
Ist ru?% su ß -f-tß 2 positiv bzw. negativ, so gilt dasselbe 
von cos 6, d. h. dann bildet die positive Flächennormale mit 
der positiven Hauptnormale einen spitzen bzw. stumpfen Winkel. 
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