§ 2. Die Dupinscben Indikatrizen 
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314. Ein Ausnahmefail. Der Eulersche Satz in Nr. 308, 
der anssagt, wie sich die Krümmung eines Normalschnittes eines 
Flächenpunktes M gesetzmäßig ändert, sobald sich die Ebene 
um die Normale von M dreht, gilt nur dann, wenn die Ab 
leitungen p, q, r, s, t an der betrachteten Stelle M der Fläche 
z = fix, y) bestimmte endliche Werte haben, vgl. die allgemeine 
Voraussetzung in Nr. 303. Daß sonst das Gesetz, nach dem 
sich die Krümmung eines Normalschnittes ändert, ganz anders 
sein kann, soll an einem Beispiele gezeigt werden: 
Wir betrachten die Fläche: 
x 2 4- v 
(1) 
Dabei bedeute cp eine gegebene Funktion von y : x. Führen 
wir Polarkoordinaten vermöge x = q cos ca, y = Q sin w ein, 
so kommt: 
(2) 
2qp(tg ro) 
Für einen bestimmten Wert von ca ist dies die Gleichung der 
jenigen ebenen Kurve, in der die Fläche durch die Ebene 
y = x tg ca geschnitten wird, und zwar geschrieben in den 
rechtwinkligen Koordinaten p und z. Diese Kurve ist eine 
Parabel, die den Anfangspunkt zum Scheitel hat und deren 
Scheiteltangente in der xy-Ebene liegt. Der Anfangspunkt ist 
folglich ein Punkt der Fläche, die z-Achse die Normale dieses 
Flächenpunktes und die betrachtete Kurve ein Normalschnitt, 
der zum Anfangspunkte gehört. Da der Krümmungsradius 
der Parabel y = ex 2 im Scheitel gleich 1:2c ist, hat die 
durch (2) dargestellte Parabel im Anfangspunkte den Krüm 
mungsradius R = cp (tg ca), und weil nun die Funktion cp von 
y : x oder tgca willkürlich gewählt werden kann, ist der An 
fangspunkt ein Punkt der Fläche (1), für den der Eulersche 
Satz über die Krümmungen der Normalschnitte nicht zu gelten 
braucht. Für den Anfangspunkt werden aber auch die Ab 
leitungen der durch (1) definierten Funktion z von x und y 
unbestimmt. Denn cp kann als Funktion von y : x verschiedene 
Werte annehmen je nach der Art, wie man sich dem Anfangs 
punkte auf der Fläche nähert. 
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