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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
eine Tangente gewählt worden ist, d. h. ihre Richtungskosinus 
a, ß, y gegeben sind, liefern die Gleichungen (5) die Rich 
tung der zur gewählten Tangente konjugierten Tangente mit 
den Richtungskosinus a x , ß x , y 1 . 
Die beiden Gleichungen (5) lassen sich auf nur eine zurück 
führen. Denn wegen dz=pdx -f qdy ist: 
y=pa + qß, Yi=P* 1 + 201* 
Es bleibt daher die durch Gleichsetzen der ersten beiden Brüche 
in (5) hervorgehende Gleichung als einzige wesentliche übrig. 
Sie kann übersichtlicher so geschrieben werden: 
(6) raa t -¡- s(aßj + ßaf) -f- tßß t = 0. 
Weil sie sich nicht ändert, wenn a, ß, y bzw. mit a t , ß lf y t 
vertauscht werden, folgt, daß umgekehrt die zur zweiten Tan 
gente konjugierte Tangente die erste Tangente ist. Dies erst 
berechtigt zu der Bezeichnung beider Tangenten als konjugiert. 
Diese Benennung hat aber noch einen anderen Grund: 
Wählen wir nämlich den Flächenpunkt M wie in Nr. 310 
als Anfangspunkt, so daß für ihn p = q = s=*0,r=l:R i und 
t = 1 : B 2 ist, und bildet die eine Tangente mit der x-Achse 
den Winkel tu, die andere den Winkel tUj, so ist a = coso, 
ß = sin co und a 1 = cosm 1 , ß 1 = sin(o 1 , so daß aus (6) folgt: 
(7) tgtu tg«, = - 
Hieraus ergibt sich mit Rücksicht auf die Gleichung der Indi- 
katrizen in Satz 9 von Nr. 311: 
Satz 11: Konjugierte Tangenten eines Flächenpunktes sind 
identisch mit konjugierten Durchmessern einer Indikatrix des 
Punktes. 
Nach Satz 10 von Nr. 311 und nach einem bekannten Satze 
über konjugierte Durchmesser einer Ellipse bzw. zweier kon 
jugierter Hyperbeln (vgl. Nr. 313) folgt sofort: 
Satz 12: Die Summe der Krümmungsradien zu'eier Normal 
schnitte eines Flächenpunktes, die konjugierte Tangenten haben, 
ist für den Flächenpunkt gleich der Summe der leiden Haupt 
krümmungsradien des Punktes. 
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