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Kap. X. Flächenkurven und. Flächenfamilien 
Aus dieser für dy.dx quadratischen Gleichung ergeben sich für 
dy: dx zwei reelle verschiedene Werte im Falle rt — s 2 < 0 
(hyperbolischer Punkt), zwei reelle gleiche Werte im Falle 
rt — s 2 = 0 (parabolischer Punkt) und zwei imaginär kon 
jugierte Werte im Falle rt — s* > 0 (elliptischer Punkt). 
Diejenigen Kurven auf der Fläche, die in jedem ihrer 
Punkte eine Haupttangente berühren, heißen die Haupttan- 
gentmkurven der Fläche. Sie sind auf demjenigen Gebiete der 
Fläche vorhanden, dessen Punkte hyperbolisch sind, und über 
decken dort die Fläche netzartig, nämlich doppelt, indem durch 
jeden Punkt dieses Gebietes zwei verschiedene gehen. Da, wo 
die Fläche parabolische Punkte hat, fallen dagegen die F'ort- 
schreitungsrichtungen auf beiden Kurven zusammen. Im Ge 
biete der elliptischen Punkte sind die Haupttangentenkurven 
imaginär. Wenn in (1) für r, s, t die aus z = f(x, y) folgen 
den Werte in x, y eingesetzt werden, enthält (1) nur x, y 
und dy.dx und wird also eine gewöhnliche Differentialgleichung 
erster Ordnung, vgl. Nr. 86, nämlich die Differentialgleichung 
derjenigen Kurven in der xy-Ehene, die die senkrechten Pro 
jektionen der Haupttangentenkurven der Eläche sind. 
§ 3. Hauptkrümmungsradien und Kriimmungsmaß 
einer Fläche. 
317. Bestimmung der Hauptkrümmungsradien. Die 
in Nr. 306 angegebene Formel (1) für den Krümmungsradius 
R desjenigen Normalschnittes, der die Tangente mit den 
Richtungskosinus a, ß, y enthält, wollen wir zunächst so um 
formen, daß darin nur die Verhältnisse der Kosinus auftreten. 
Zu diesem Zwecke multiplizieren wir ihre rechte Seite mit 
a 2 ß 2 y 2 , was geschehen darf, weil diese Summe gleich 
Eins ist. Wegen dz=pdx-\-qdy wird ferner y = pa -f- qß. 
Nach Einsetzen dieses Wertes ergibt sich, nach den Potenzen 
von a und ß geordnet, die Gleichung: 
(1) 
Vp~ + <r + 1 
Es 
Rt 
\j>' + P + 1 
316, 317]