§ 3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 511 
Die Quadratwurzel ist nach Nr. 304 positiv. Die Formel ge 
stattet, B zu berechnen, sobald nur das Verhältnis a : ß der 
Richtungskosinus der Tangente gegenüber der x- und «/-Achse 
gegeben ist. Umgekehrt: Geben wir B einen bestimmten Wert, 
so ist (1) eine quadratische Gleichung für a : ß, die, wenn sie 
reelle Wurzeln hat, zivei Tangenten bestimmt, für deren zuge 
hörige Normalschnitte der Krümmungsradius den gleichen ge 
gebenen Wert hat. Zwei Normalschnitte eines Flächenpunktes 
haben nun nach Satz 8, Nr. 308, nur dann dieselbe Krüm 
mung, wenn sie zu einem der beiden Hauptschnitte symmetrisch 
sind. Also liefert (1) die folgende Bedingung für einen Haupt 
schnitt: Die für a : ß quadratische Gleichung (1) muß zwei 
gleiche Wurzeln haben, d. h. es muß sein: 
M 
Es 
Vp* + q 2 + 
dH 
= i +p 2 
Er 
VP + 2 2 + 1 
1 +g- 
Et 
Vp* + <1* +1 
oder, ausgerechnet: 
(r t—s 2 ) B 2 — [(1 -f q 2 ) r—2pqs -f- (1 -f-p 2 ) t] ]/p 2 + q 2 -f 1 B-\- {p 2 -f- q 2 -\-1) 8 = 
Hier liegt eine quadratische Gleichung für B vor. Ihre Wurzeln 
sind die Hauptkrümmungsradien B x und B. 2 des betrachteten 
Flächenpunktes. Zur Bestimmung der zugehörigen Haupt 
schnitte oder Tangentenrichtungen, also des Verhältnisses a : ß, 
schließen wir so: Ist B eine Wurzel der Gleichung (2), so hat 
die für a oder ß quadratische Gleichung (1) eine Doppel 
wurzel. Für eine Doppelwurzel u einer quadratischen Gleichung 
Au 2 + 2Bu + C= 0 ist aber auch Au-\-B = 0. Daher folgt, 
je nachdem wir (1) als quadratische Gleichung für a oder ß 
auffassen, daß für die Hauptschnitte: 
(i +i> ! 
Er 
Vp“ + q 2 + 
Es 
d a+ H~m 
fpq ' Rs H a -f- (l -|- q 2 — 
V Vjp*+.«*+!/ V 
+ + 1 
Et 
Vp- + 1 
oder umgeformt: 
ru -j- sß 
ß = 0, 
iF=° 
SU -\-tß 
Vp* + g 2 +1 
E 
(i +i>v +pqß pqu + CL + täß 
ist. Die beiden ersten Glieder in (3) stellen eine in a : ß 
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