§ 3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 515 
ist ja rein geometrisch schon verständlich. Es möge also etwa 
S den Flächeninhalt des betrachteten Stückes der gegebenen 
Fläche bedeuten. Die Bildpunkte 9Ä der Punkte M dieses 
Stückes erfüllen alsdann ein gewisses Stück der Kugelober 
fläche, und es sei © der Flächeninhalt dieses sphärischen 
Stückes. Das Verhältnis ©: S nennen wir die durchschnittliche 
Krümmung des Flächenstückes S, nicht, wie es entsprechend 
Nr. 260 nahe liegen würde, die mittlere, da die mittlere Krüm 
mung schon eine andere bestimmte Bedeutung hat, vgl. Nr. 308. 
Ist nun das Flächenstück S eine Umgebung eines gewissen 
Pnnktes M der Fläche und wird die Umgebung immer kleiner 
gemacht, so wird das zugehörige sphärische Stück © auch 
eine immer kleinere Umgebung des sphärischen Bildes äft von 
M. Man kann zeigen, daß das Verhältnis © : S einen be 
stimmten endlichen Grenzwert hat, wenn die Fläche S um 
M herum nach Null strebt, und dieser Grenzwert heißt nach 
Gauß das Krümmungsmaß oder die Krümmung der Fläche an 
der betrachteten Stelle M. 
Die Tangentenebene der Fläche in M ist zur Tangenten 
ebene der Kugel in äft parallel. Je kleiner das Flächenstück 
S um M herum und dadurch auch das Flächenstück © um 
herum wird, um so weniger weichen beide Stücke von 
Teilen dieser beiden parallelen Ebenen ab. Da nun, wie man 
zeigen könnte, der Flächeninhalt eines Stückes einer Ebene in 
einem von seiner Form unabhängigen Verhältnisse zu dem 
Flächeninhalte seiner senkrechten Projektion auf die xy-Ebene 
steht, schließen wir: Um das Krümmungsmaß der Fläche in 
M zu berechnen, dürfen wir die beiden Flächenstücke S und © 
durch ihre Projektionen S' und ©' auf die xy-Ebene ersetzen. 
Nun möge M' die Projektion von M auf die xy-Ebene 
sein. Wir wählen zwei zu M' benachbarte Punkte M x ' und 
Jf 2 ' in der xy-Ebene und betrachten das geradlinige Dreieck 
M'M^M 2 ' als die Projektion S’ des Flächenstückes S, das also 
durch ein krummliniges Dreieck MM^M^ auf der Fläche be 
grenzt sei. Sind 9}i 1 und 9J1 2 die sphärischen Bilder von 
und M 2 , so ist die sphärische Fläche © durch ein krumm 
liniges Dreieck begrenzt, dessen Ecken, auf die xy- 
Ebene projiziert, die Punkte 9JT, 3)?/, 3J1 2 ' liefern mögen. Die 
Ser ret-Schef fer s, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 33 [*518