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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
Projektion ©' von © ist alsdann durch ein krummliniges Drei 
eck SK'ättj'äRj' begrenzt. Man kann nun beweisen, worauf 
wir hier nicht eingehen, daß die Fläche des krummlinig be 
grenzten Dreiecks SDP äK/äK 2 ' zur Fläche des geradlinig be 
grenzten Dreiecks ein Verhältnis hat, das dem 
Grenzwerte Eins zustrebt, falls die Punkte 9#/ und 9)( 2 ' immer 
näher an 9JT heranrücken. Daher dürfen wir folgern, daß die 
Krümmung der Fläche in M der Grenzwert ist: 
(i) 
K — lim 
A 9k'9k/2k/ 
A M'M X M t '* 
wobei beide Dreiecke geradlinig begrenzt seien. 
Der Punkt M der Fläche z = f(x,y) habe die Koordinaten 
x, y, z. Der Punkt M' hat dann die Koordinaten x, y. Den 
Punkt M t ' können wir auf derjenigen Geraden durch M’ 
wählen, die zur ¿r-Achse parallel ist, so daß iU/ die Koordi 
naten x -f Jx und y habe. Dagegen möge M 2 die Koordinaten 
x und y ¿dy haben. Alsdann hat das Dreieck M'MyM 2 den 
Inhalt ^zlxzly. 
Die Richtungskosinus der positiven Normale des Mächen 
punktes M seien wie immer X, Y, Z. Sie sind zugleich 
die rechtwinkligen Koordinaten des Bildpunktes 9JI auf der 
Kugel. Mithin hat SDP die Koordinaten X und Y. Sie sind 
gewisse Funktionen von x und y. Wenn nur x um dx wächst, 
mögen sie die Zunahmen und Y erfahren; wenn da 
gegen nur y um Aly wächst, seien z/ 2 X und ¿/ 2 Y ihre Zu 
nahmen. Alsdann haben die Ecken des Dreiecks SR' 9№ 1 / ÜD?/ 
die Koordinaten: 
X, V; X + ^X, r+^F; X-f z/jX, Y+zJ s Y, 
so daß /(z/ x X4 2 Y—djkz/jX) der Inhalt dieses Dreiecks 
ist. Nach (1) wird folglich: 
K = lim 
A 1 XA i Y — A x YA X X 
AxAy 
— lim 
A x X 
A x 
4Z 
Ay 
A x Y A x X\ 
Ax Ay } 
Haben X und 
Y stetige Ableitungen nach 
lim - 1 — — X 
lim ^«7 lim ^ — 
Ax 
mithin: 
(2) 
K-X m T,-T.X r . 
318] 
Ai Y 
Ay 
-»>