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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
Setzt man diese Werte in (3) ein, so vereinfacht sich die dritte 
Zeile der Determinante mit Rücksicht auf die zweite. Es kommt: 
px + qy 
1 =0, 
x y 
—p -g. 
rx -j- sy sx + ty' 
0 
oder ausgerechnet: 
(4) [(l+p 2 )s-pqr]x' 2 +[(l+p 2 )t—(l+q 2 )r]x'y'— [(l+?*)s— pqt]y' 3 =0. 
Da px -f qy = z und rx' -f sy = p\ sx + ty = q ist, 
läßt sich die Bedingung auch so schreiben: 
x' y' z 
(5) P g 
p q 0 
Führt man in (4) statt x, y die Differentiale dx und dy 
ein, so kommt: 
(6) [(1 +i? 2 )s — pqr\dx 2 + [(1 +jP*)t — (1 +q 2 )r]dxdy 
- i(i + g 2 )s-pgt]dy 2 = o. 
Hierin sind p, q, r, s, t wegen z = f(x,y) Funktionen von 
x, y. Diese Gleichung ist folglich nach Nr. 86 eine gewöhn 
liche Differentialgleichung erster Ordnung, nämlich für diejenigen 
Kurven in der xy-Ehene, die durch senkrechte Projektion der 
Krümmungskurven auf die xy-Ehene hervorgehen. 
320. Die Tangenten der Krümmungskurven. Wird 
ein Flächenpunkt J\I wie in Nr. 310 als Anfangspunkt gewählt, 
so daß für ihn ^ = £ = 5 = 0 und r = 1: R lt t = 1 : E. 2 ist, 
so liefert die Gleichung (4) der vorigen Nummer für ihn 
x y' = 0, d. h. x = 0 oder y' = 0. Da die Tangenten von M 
jetzt in der iry-Ebene liegen, bedeutet dies, daß entweder die 
¿/-Achse oder die x-Achse die Tangente der durch M gehenden 
Krümmungskurve ist. Weil nun gegenwärtig die a:^-Ebene 
und ¿/^-Ebene die Hauptschnittebenen von M sind, ergibt sich der 
Satz ld: Die durch einen Flächenpunkt gehenden Krüm 
mungskurven berühren dort die beiden Hauptschnitte der Fläche. 
Hieraus folgern wir, daß durch jeden Flächenpunkt M } 
der kein Nabelpunkt ist, zwei Krümmungskurven gehen, deren 
319, 320]