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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
ermitteln, wählen wir für den Augenblick M wie in voriger 
Nummer als Anfangspunkt so, daß für M insbesondere 
p = q = s = 0, r = 1: R lf t = 1 : R 2 ist. Bedeutet w wie in 
Nr. 319 die positive Quadratwurzel aus p* + q 2 -f 1, so wird 
ww x pr + qs = 0 und ww y = ps qt = 0; folglich ergeben 
sich nach derselben Nummer für X', Y', Z' die Werte —x : R 1 , 
— y : R 2 und 0. Nun sind x, y, z zu den Richtungskosinus 
der Tangente einer der beiden durch M gehenden Krümmungs 
kurven proportional. Diese Tangente fällt aber jetzt nach 
Nr. 320 entweder auf die x- oder auf die ?/-Achse, so daß 
entweder y = 0, z =0 oder x = 0, z'= 0 ist. Im ersten 
bzw. zweiten Falle gibt die Formel (2) mithin h = R t bzw. 
h = R 2 . Dies bedeutet geometrisch: 
Satz 15: Die Gratlinie derjenigen abwickelbaren Fläche, 
die von allen Flächennormalen längs einer Krümmungskurve 
gebildet wird, ist der geometrische Ort der Krümmungsmittel 
punkte aller derjenigen Hauptschnitte, die jene Krümmungskurve 
berühren. 
Kehren wir wieder zu einer beliebigen Lage des Achsen 
kreuzes zurück, so wissen wir also, daß li entweder gleich R 1 
oder gleich R 2 zu setzen ist. Nach (1) sind daher entweder 
(3) i = x + XR 1} \) = y + YR 1 , i = z + ZR l 
oder 
(4) S = x + XR 2 , l) = y + YR 2 , 5 = z -f ZR 2 
die Gleichungen der Gratlinie. 
Vor einem naheliegenden Irrtume ist aber zu warnen: 
Eine Krümmungskurve hat wie jede Raumkurve nach Nr. 263 
für jeden ihrer Punkte M einen Krümmungsmittelpunkt. 
Er liegt auf der positiven Hauptnormale der Kurve. Diese 
Hauptnormale ist aber im allgemeinen durchaus nicht die 
Flächennormale. Also sind R, und R 2 im allgemeinen durch 
aus nicht die Krümmungsradien der beiden durch M gehenden 
Krümmungskurven. Die Gratlinien sind demnach auch im all 
gemeinen nicht die Orte der Krümmungsmittelpunkte der Krüm 
mungskurven; sie sind aber nach Nr. 291 Filarcvoluten der 
Krüm mungskur ven. 
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