§ 3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 521 
322. Flächen mit lauter Naheipunkten. Die Kugeln 
haben nach dem Meusnierschen Satze 1 von Nr. 805 überall 
Nabelpunkte (vgl. Nr. 307). Ferner haben alle Normalen einer 
Kugel die Eigenschaft, einander zu treffen (im Fall der Ebene 
parallel zu sein). Nach der Definition in Nr. 319 ist daher jede 
Kurve auf der Kugel (oder Ebene) eine Krümmungskurve. Dies 
zeigt sich analytisch so: 
Liegt die Kugel 
(x — a) 2 + (y — 6) 2 -f- (ß — c) 2 — jR 2 = 0 
vor, so ergibt zweimalige Differentiation nach x und y: 
1 +P 2 + (^ — c)r = 0, pq-\-(z — c)s = 0, 1 + Q 2 + {? — c)t= 0 
woraus folgt, daß die drei eckigen Klammern in der Differen 
tialgleichung (6) von Nr. 319 in diesem Falle den Inhalt Null 
haben, die Gleichung also nichts aussagt. Dasselbe ergibt sich 
im Falle einer Ebene. 
Um alle Flächen zu finden, deren Punkte sämtlich Nabel 
punkte sind, gehen wir davon aus, daß nach (3) in Nr. 318 
für die Richtungskosinus X, Y, Z der Normale einer Fläche 
allgemein die Gleichungen gelten: 
x - 
m pqs — ( 1 + q*)r 
X - 
pqt — (t + q*)s 
VP* + 2* + 1 ‘ 
Vp 2 + q*+1 3 ' 
Y - 
pqr — (l + jP)S 
Y = 
pqs — (l +p*)t 
X X 
Vjp’ + i'+C ’ 
x y 
iV + ä’+i” 
Soll die Fläche lauter Nabelpunkte haben, so muß also nach 
Satz 4 von Nr. 307 überall X y = 0 ; Y x = 0 und X x = Y y sein. 
Nach der ersten Bedingung hängt daher X nur von x, nach 
der zweiten Y nur von y ab, und folglich ist nach der dritten 
X„ — Y konstant. Ist die Konstante von Null verschieden, 
so kann sie mit 1 : c bezeichnet werden. Dann haben x — cX 
und y — cY die Ableitungen Null und sind deshalb auch Kon 
stanten x 0 und y 0 , so daß X=(# — x 0 ) : c und Y=(y — y 0 ): c 
wird. Da X 2 + Y 2 -j- X 2 = 1 ist, kommt außerdem: 
z = x ~ ( x ~ X ° y 2 ~ (y ~ y » y 2 ■ 
Nach (10) in Nr. 253 ist aber p = — X:Z und q = — Y: Z. 
Aus dz = p dx + qdy folgt daher: 
[3»3